Номер 23, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

23. Сформулируйте свойство медианы треугольника; точки пересечения медиан треугольника.

Свойство медианы треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Основное свойство медианы заключается в том, что она делит треугольник на два равновеликих треугольника, то есть на два треугольника с одинаковой площадью. Рассмотрим треугольник $ABC$ и его медиану $AM$, проведенную к стороне $BC$. Точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = MC$. Треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$ на сторону $BC$. Так как площади этих треугольников вычисляются как половина произведения основания на высоту ($S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$), а их основания ($BM$ и $MC$) и высоты равны, то и их площади равны: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle ACM}$.

Также существует формула для вычисления длины медианы через длины сторон треугольника (теорема Аполлония). Для медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$, ее длина $m_a$ связана с длинами сторон $a, b, c$ формулой:$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Ответ: Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади.

Свойство точки пересечения медиан треугольника

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом или центром тяжести треугольника. Основные свойства этой точки следующие:

• Теорема о пересечении медиан: Все три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке.
• Свойство деления медиан: Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ проведены медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, которые пересекаются в точке $O$. Тогда для каждой медианы выполняются следующие соотношения:

$\frac{AO}{OA_1} = \frac{2}{1}$, $\frac{BO}{OB_1} = \frac{2}{1}$, $\frac{CO}{OC_1} = \frac{2}{1}$

Это также можно записать так:$AO = \frac{2}{3} AA_1$ и $OA_1 = \frac{1}{3} AA_1$;$BO = \frac{2}{3} BB_1$ и $OB_1 = \frac{1}{3} BB_1$;$CO = \frac{2}{3} CC_1$ и $OC_1 = \frac{1}{3} CC_1$.

Следствием из этого свойства является то, что три медианы делят треугольник на шесть малых треугольников, площади которых равны между собой.

Ответ: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.