Номер 11, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Как связаны диагональ прямоугольного параллелепипеда и его измерения?

На $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Диагональ прямоугольного параллелепипеда связана с его измерениями (длиной, шириной и высотой) через пространственную теорему Пифагора. Эта связь выражается следующей теоремой: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями $a$ (длина), $b$ (ширина) и $c$ (высота). Обозначим его главную (пространственную) диагональ как $d$.

Вывод формулы:

1. Сначала найдем диагональ основания параллелепипеда. Основание — это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Обозначим его диагональ $d_{осн}$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $b$ и диагональю $d_{осн}$, имеем:
   $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$
2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют диагональ основания $d_{осн}$, боковое ребро (высота) $c$ и диагональ самого параллелепипеда $d$. В этом треугольнике катетами являются $d_{осн}$ и $c$, а гипотенузой — диагональ $d$.
3. Снова применим теорему Пифагора, теперь уже для этого пространственного треугольника:
   $d^2 = d_{осн}^2 + c^2$
4. Подставим выражение для $d_{осн}^2$ из первого шага в полученное уравнение:
   $d^2 = (a^2 + b^2) + c^2$
   Таким образом, получаем итоговую формулу, связывающую диагональ параллелепипеда с его измерениями:
   $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Из этой формулы следует, что длина диагонали $d$ может быть вычислена как квадратный корень из суммы квадратов ее измерений:
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Ответ: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Если измерения параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$, а диагональ равна $d$, то их связь выражается формулой: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.