Номер 434, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

434. Два угла остроугольного треугольника, вписанного в окружность, равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите углы треугольника, образованного касательными окружности, проведенными через вершины данного треугольника.

Пусть данный остроугольный треугольник — это ΔABC, вписанный в окружность. Пусть его известные углы равны $∠A = α$ и $∠B = β$. Тогда третий угол треугольника равен $∠C = 180° - α - β$.

Касательные к окружности, проведенные через вершины A, B и C, пересекаясь, образуют новый треугольник. Обозначим его вершины как P, Q, R, где P — точка пересечения касательных, проведенных в точках B и C, Q — в точках A и C, и R — в точках A и B. Требуется найти углы этого треугольника ΔPQR.

Нахождение угла P

Рассмотрим треугольник ΔPBC. Его стороны PB и PC являются отрезками касательных, проведенных из одной точки P к окружности, следовательно, их длины равны: $PB = PC$. Это означает, что треугольник ΔPBC — равнобедренный с основанием BC, и углы при основании равны: $∠PBC = ∠PCB$.

Воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключенную между ними. Угол ∠PCB образован касательной PC и хордой BC. Следовательно, он равен вписанному углу, опирающемуся на дугу BC, то есть углу $∠BAC = α$. Таким образом, $∠PCB = α$.

Поскольку ΔPBC равнобедренный, то и $∠PBC = α$. Сумма углов в треугольнике ΔPBC равна $180°$, откуда можно найти угол при вершине P:

$∠P = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - (α + α) = 180° - 2α$.

Нахождение угла Q

Рассуждая аналогично для треугольника ΔQAC, он является равнобедренным ($QA = QC$), и углы при основании AC равны. Угол ∠QCA, образованный касательной QC и хордой AC, равен вписанному углу $∠ABC = β$. Значит, $∠QAC = ∠QCA = β$.

Тогда угол при вершине Q равен:

$∠Q = 180° - (∠QAC + ∠QCA) = 180° - (β + β) = 180° - 2β$.

Нахождение угла R

Наконец, рассмотрим треугольник ΔRAB. Он также является равнобедренным ($RA = RB$), и углы при основании AB равны. Угол ∠RBA, образованный касательной RB и хордой AB, равен вписанному углу $∠ACB$. Мы знаем, что $∠ACB = 180° - α - β$.

Тогда угол при вершине R равен:

$∠R = 180° - 2 \cdot ∠ACB = 180° - 2(180° - α - β) = 180° - 360° + 2α + 2β = 2α + 2β - 180°$.

Поскольку исходный треугольник остроугольный, все его углы меньше $90°$. В частности, $∠C < 90°$, что означает $180° - α - β < 90°$, или $α + β > 90°$. Это гарантирует, что найденный угол $∠R = 2(α + β) - 180°$ будет положительным.

Ответ: Углы треугольника, образованного касательными, равны $180° - 2α$, $180° - 2β$ и $2α + 2β - 180°$.