Номер 429, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

Рис. 307

429. Через конец А диаметра АВ данной окружности проведена прямая $l$, пересекающая другую прямую $m$, которая перпендикулярна прямой АВ (рис. 307). Докажите, что произведение расстояний от конца А до точек D и E пересечения прямой $l$ с прямой $m$ и окружностью есть постоянная величина. То есть, что $AD \cdot AE$ есть постоянная величина.

Пусть $C$ — точка пересечения прямой $m$ с прямой, содержащей диаметр $AB$. Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle AEB$.

Поскольку $AB$ является диаметром окружности, вписанный угол $\angle AEB$, который опирается на этот диаметр, по свойству равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle AEB$ является прямоугольным.

По условию задачи, прямая $m$ перпендикулярна прямой $AB$. Так как точка $D$ лежит на прямой $m$, а точки $A$ и $C$ — на прямой $AB$, то угол $\angle ACD$ равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle ACD$ также является прямоугольным.

В прямоугольных треугольниках $\triangle ACD$ и $\triangle AEB$ угол $\angle DAB$ является общим (этот угол совпадает с $\angle CAD$ в первом треугольнике и с $\angle EAB$ во втором).

Поскольку треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle AEB$ — прямоугольные и имеют общий острый угол $\angle DAB$, то их третьи углы также равны: $\angle ADC = 90^\circ - \angle CAD$ и $\angle ABE = 90^\circ - \angle EAB$. Так как $\angle CAD = \angle EAB$, то и $\angle ADC = \angle ABE$.

Таким образом, треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle AEB$ подобны по трем углам ($\triangle ACD \sim \triangle AEB$). Из подобия следует пропорциональность их соответственных сторон:$$ \frac{AD}{AB} = \frac{AC}{AE} $$

Применив к этой пропорции правило перекрестного умножения, получим следующее равенство:$$ AD \cdot AE = AB \cdot AC $$

Проанализируем правую часть этого равенства. Длина $AB$ — это диаметр данной окружности, и его величина постоянна. Расстояние $AC$ — это расстояние от фиксированной точки $A$ (конца диаметра) до фиксированной прямой $m$, поэтому эта величина также постоянна.

Так как произведение $AB \cdot AC$ является постоянной величиной, то и равное ему произведение $AD \cdot AE$ также является постоянной величиной, не зависящей от выбора прямой $l$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение расстояний $AD \cdot AE$ является постоянной величиной, равной произведению длины диаметра окружности $AB$ на расстояние $AC$ от точки $A$ до прямой $m$.