Номер 433, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

433. Определите, какая из:

а) хорд, проходящих через точку внутри круга, наименьшая;

б) секущих, проходящих через данную точку вне круга, имеет с ним наибольшую общую часть.

а) Пусть дан круг с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и точка $P$ внутри круга. Рассмотрим произвольную хорду $AB$, проходящую через точку $P$. Длина хорды зависит от ее расстояния до центра круга.

Опустим перпендикуляр $OK$ из центра $O$ на хорду $AB$. В прямоугольном треугольнике $OKA$ (где $A$ – один из концов хорды) катеты – это $OK$ и $AK$, а гипотенуза – радиус $OA = R$. По теореме Пифагора:

$OA^2 = OK^2 + AK^2$

Поскольку $K$ – середина хорды $AB$, то $AK = \frac{AB}{2}$. Подставляя, получаем:

$R^2 = OK^2 + (\frac{AB}{2})^2$

Выразим длину хорды $AB$:

$AB = 2\sqrt{R^2 - OK^2}$

Чтобы длина хорды $AB$ была наименьшей, значение подкоренного выражения $R^2 - OK^2$ должно быть минимальным. Так как $R$ – постоянная величина, для этого необходимо, чтобы вычитаемое $OK^2$ было максимальным. Следовательно, мы должны максимизировать расстояние $OK$ от центра круга до хорды.

Все хорды проходят через заданную точку $P$. Расстояние $OK$ от центра $O$ до прямой, содержащей хорду $AB$, не может превышать расстояние $OP$ от центра до точки $P$ (в прямоугольном треугольнике $OKP$, если $K \neq P$, $OP$ является гипотенузой, а $OK$ – катетом, значит $OK \le OP$).

Максимальное значение $OK$ равно $OP$ и достигается тогда, когда точка $K$ совпадает с точкой $P$. Это происходит, когда отрезок $OP$ является перпендикуляром к хорде $AB$.

Таким образом, наименьшей будет та хорда, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через данную точку $P$.

Ответ: Наименьшая хорда – это хорда, перпендикулярная диаметру, проходящему через данную точку.

б) Пусть дан круг с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и точка $P$ вне круга. Секущая, проходящая через точку $P$, пересекает круг в двух точках, образуя хорду. "Общая часть" секущей с кругом – это и есть эта хорда. Требуется найти секущую, для которой длина этой хорды будет наибольшей.

Как было показано в пункте а), длина хорды $AB$ связана с ее расстоянием $d$ от центра круга $O$ формулой:

$AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$

Чтобы длина хорды $AB$ была наибольшей, значение подкоренного выражения $R^2 - d^2$ должно быть максимальным. Так как $R$ – постоянная величина, для этого необходимо, чтобы вычитаемое $d^2$ было минимальным. Следовательно, мы должны минимизировать расстояние $d$ от центра круга до секущей.

Все рассматриваемые секущие проходят через заданную точку $P$. Расстояние от центра $O$ до прямой, проходящей через точку $P$, будет наименьшим, если эта прямая также проходит через сам центр $O$. В этом случае расстояние $d$ равно нулю.

Когда $d = 0$, секущая проходит через центр круга, а хорда, которую она образует, является диаметром круга. Длина диаметра равна $2R$. Это максимально возможная длина хорды в круге.

Следовательно, секущая, проходящая через данную точку $P$ и центр круга $O$, имеет с кругом наибольшую общую часть.

Ответ: Секущая, проходящая через данную точку и центр круга.