Номер 5, страница 203 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5.Что означает требование: Решить задачу на построение?

Решить задачу на построение в геометрии — это не просто начертить искомую фигуру с помощью циркуля и линейки. Это означает выполнить полный и логически завершенный процесс, который, как правило, состоит из четырех обязательных этапов:

1. Анализ. На этом этапе предполагается, что задача уже решена, то есть искомая фигура построена. Делается чертеж-эскиз, на котором показывают как данные элементы задачи, так и те, что нужно построить. Цель анализа — установить логические связи между данными и искомыми элементами, опираясь на известные геометрические теоремы и свойства. В результате анализа должен быть найден способ или план построения искомой фигуры.

2. Построение. На этом этапе, на основе плана, выработанного в ходе анализа, выполняется последовательность элементарных построений. Эти построения выполняются строго с помощью двух классических инструментов: циркуля (позволяет проводить окружности заданного радиуса из заданной точки) и линейки без делений (позволяет проводить прямую через две заданные точки). Весь процесс построения должен быть четко описан в виде алгоритма — последовательности шагов.

3. Доказательство. После того как фигура построена согласно алгоритму, необходимо строго доказать, что она действительно удовлетворяет всем условиям задачи. То есть, нужно доказать, что построенный объект является именно тем, который требовался. Доказательство основывается на аксиомах и теоремах геометрии и подтверждает правильность выполненного построения.

4. Исследование. Это заключительный этап, на котором определяется, при каких условиях задача имеет решение, а при каких — нет. Также выясняется, сколько решений может быть в зависимости от конкретных значений исходных данных. Например, при построении треугольника по трем сторонам $a$, $b$ и $c$, исследование покажет, что задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, только если выполняется неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон больше длины третьей стороны), и не имеет решений в противном случае. Если какой-либо из шагов построения может дать несколько результатов (например, пересечение двух окружностей в двух точках), это также анализируется в исследовании.

Таким образом, полное решение задачи на построение — это комплексная работа, включающая в себя как практическое выполнение чертежа, так и его полное теоретическое обоснование.

Ответ: Требование «решить задачу на построение» означает, что необходимо не только начертить искомую фигуру с помощью циркуля и линейки, но и провести полный анализ задачи, описать точный алгоритм построения, доказать, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям, и исследовать, при каких условиях задача имеет решение и сколько решений возможно.