Номер 695, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

695. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ ребра основания равны 1, боковые ребра — 2. Найдите угол между плоскостями:

a) $AB_1C$ и $A_1BF$;

б) $AB_1C$ и $A_1BD_1$;

в) $AB_1C$ и $A_1BE_1$;

г) $AB_1C$ и $A_1BF_1$;

д) $AE_1C_1$ и $FBD_1$;

е) $AE_1C_1$ и $F_1BC_1$.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы совпадает с началом координат $O(0,0,0)$. Ось $z$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Вершины нижнего основания $ABCDEF$ лежат в плоскости $xy$. Ребро основания равно 1, боковое ребро равно 2.

В правильном шестиугольнике со стороной 1 расстояние от центра до любой вершины равно 1. Разместим вершины так, чтобы ось $x$ проходила через точки $A$ и $D$. Тогда координаты вершин будут следующими:

Нижнее основание:

• $A(1, 0, 0)$
• $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D(-1, 0, 0)$
• $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Верхнее основание (координата $z$ равна 2):

• $A_1(1, 0, 2)$
• $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $D_1(-1, 0, 2)$
• $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$
• $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$

Угол $\alpha$ между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ и вычисляется по формуле:$ \cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} $Нормальный вектор к плоскости, проходящей через три точки $P_1, P_2, P_3$, можно найти как векторное произведение векторов $\vec{P_1P_2}$ и $\vec{P_1P_3}$.

а) $AB_1C$ и $A_1BF$

Найдем нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $AB_1C$. Точки: $A(1, 0, 0)$, $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 2)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Векторы:$\vec{AB_1} = (1/2-1, \sqrt{3}/2-0, 2-0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$.$\vec{AC} = (-1/2-1, \sqrt{3}/2-0, 0-0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.$\vec{n_1} = \vec{AB_1} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 2 \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - \sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 - (-3)) + \mathbf{k}(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4}) = (-\sqrt{3}, -3, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $A_1BF$. Точки: $A_1(1, 0, 2)$, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$. Векторы:$\vec{A_1B} = (1/2-1, \sqrt{3}/2-0, 0-2) = (-1/2, \sqrt{3}/2, -2)$.$\vec{A_1F} = (1/2-1, -\sqrt{3}/2-0, 0-2) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, -2)$.$\vec{n_2} = \vec{A_1B} \times \vec{A_1F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & -2 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\sqrt{3} - \sqrt{3}) - \mathbf{j}(1 - 1) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = (-2\sqrt{3}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем угол между $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$.$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-\sqrt{3})(-2\sqrt{3}) + (-3)(0) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 6 + 0 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.$|\vec{n_1}|^2 = (-\sqrt{3})^2 + (-3)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3 + 9 + \frac{3}{4} = \frac{51}{4}$.$|\vec{n_2}|^2 = (-2\sqrt{3})^2 + 0^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 12 + \frac{3}{4} = \frac{51}{4}$.$\cos \alpha = \frac{|\frac{27}{4}|}{\sqrt{\frac{51}{4}} \sqrt{\frac{51}{4}}} = \frac{27/4}{51/4} = \frac{27}{51} = \frac{9}{17}$.
Ответ: $\arccos\frac{9}{17}$.

б) $AB_1C$ и $A_1BD_1$

Нормальный вектор к плоскости $AB_1C$ уже найден: $\vec{n_1} = (-\sqrt{3}, -3, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Найдем нормальный вектор $\vec{n_3}$ к плоскости $A_1BD_1$. Точки: $A_1(1, 0, 2)$, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D_1(-1, 0, 2)$. Векторы:$\vec{A_1B} = (-1/2, \sqrt{3}/2, -2)$.$\vec{A_1D_1} = (-1-1, 0-0, 2-2) = (-2, 0, 0)$.$\vec{n_3} = \vec{A_1B} \times \vec{A_1D_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & -2 \\ -2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(0 - 4) + \mathbf{k}(0 - (-\sqrt{3})) = (0, 4, \sqrt{3})$.

Найдем угол между $\vec{n_1}$ и $\vec{n_3}$.$\vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = (-\sqrt{3})(0) + (-3)(4) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\sqrt{3}) = -12 + \frac{3}{2} = -\frac{21}{2}$.$|\vec{n_1}| = \sqrt{\frac{51}{4}} = \frac{\sqrt{51}}{2}$.$|\vec{n_3}|^2 = 0^2 + 4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19 \implies |\vec{n_3}|=\sqrt{19}$.$\cos \beta = \frac{|-21/2|}{\frac{\sqrt{51}}{2} \sqrt{19}} = \frac{21}{\sqrt{51 \cdot 19}} = \frac{21}{\sqrt{969}} = \frac{21\sqrt{969}}{969} = \frac{7\sqrt{969}}{323}$.
Ответ: $\arccos\frac{21}{\sqrt{969}}$.

в) $AB_1C$ и $A_1BE_1$

Нормальный вектор к плоскости $AB_1C$: $\vec{n_1} = (-\sqrt{3}, -3, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Найдем нормальный вектор $\vec{n_4}$ к плоскости $A_1BE_1$. Точки: $A_1(1, 0, 2)$, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$. Векторы:$\vec{A_1B} = (-1/2, \sqrt{3}/2, -2)$.$\vec{A_1E_1} = (-1/2-1, -\sqrt{3}/2-0, 2-2) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.$\vec{n_4} = \vec{A_1B} \times \vec{A_1E_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & -2 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - \sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 - 3) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4}) = (-\sqrt{3}, 3, \sqrt{3})$.

Найдем угол между $\vec{n_1}$ и $\vec{n_4}$.$\vec{n_1} \cdot \vec{n_4} = (-\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (-3)(3) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\sqrt{3}) = 3 - 9 + \frac{3}{2} = -6 + 1.5 = -4.5 = -\frac{9}{2}$.$|\vec{n_1}| = \frac{\sqrt{51}}{2}$.$|\vec{n_4}|^2 = (-\sqrt{3})^2 + 3^2 + (\sqrt{3})^2 = 3 + 9 + 3 = 15 \implies |\vec{n_4}|=\sqrt{15}$.$\cos \gamma = \frac{|-9/2|}{\frac{\sqrt{51}}{2}\sqrt{15}} = \frac{9}{\sqrt{51 \cdot 15}} = \frac{9}{\sqrt{765}} = \frac{9}{\sqrt{9 \cdot 85}} = \frac{9}{3\sqrt{85}} = \frac{3}{\sqrt{85}} = \frac{3\sqrt{85}}{85}$.
Ответ: $\arccos\frac{3}{\sqrt{85}}$.

г) $AB_1C$ и $A_1BF_1$

Нормальный вектор к плоскости $AB_1C$: $\vec{n_1} = (-\sqrt{3}, -3, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Найдем нормальный вектор $\vec{n_8}$ к плоскости $A_1BF_1$. Точки: $A_1(1, 0, 2)$, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$. Векторы:$\vec{A_1B} = (-1/2, \sqrt{3}/2, -2)$.$\vec{A_1F_1} = (1/2-1, -\sqrt{3}/2-0, 2-2) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.$\vec{n_8} = \vec{A_1B} \times \vec{A_1F_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & -2 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - \sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 - 1) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = (-\sqrt{3}, 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем угол между $\vec{n_1}$ и $\vec{n_8}$.$\vec{n_1} \cdot \vec{n_8} = (-\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (-3)(1) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3 - 3 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.$|\vec{n_1}| = \frac{\sqrt{51}}{2}$.$|\vec{n_8}|^2 = (-\sqrt{3})^2 + 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3 + 1 + \frac{3}{4} = \frac{19}{4} \implies |\vec{n_8}| = \frac{\sqrt{19}}{2}$.$\cos \epsilon = \frac{|3/4|}{\frac{\sqrt{51}}{2} \frac{\sqrt{19}}{2}} = \frac{3/4}{\sqrt{969}/4} = \frac{3}{\sqrt{969}} = \frac{3\sqrt{969}}{969} = \frac{\sqrt{969}}{323}$.
Ответ: $\arccos\frac{3}{\sqrt{969}}$.

д) $AE_1C_1$ и $FBD_1$

Найдем нормальный вектор $\vec{n_5}$ к плоскости $AE_1C_1$. Точки: $A(1, 0, 0)$, $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$, $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$.$\vec{AE_1} = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 2)$.$\vec{AC_1} = (-3/2, \sqrt{3}/2, 2)$.$\vec{n_5} = \vec{AE_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 2 \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\sqrt{3}-\sqrt{3}) - \mathbf{j}(-3 - (-3)) + \mathbf{k}(-\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}) = (-2\sqrt{3}, 0, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n_6}$ к плоскости $FBD_1$. Точки: $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D_1(-1, 0, 2)$.$\vec{FB} = (0, \sqrt{3}, 0)$.$\vec{FD_1} = (-3/2, \sqrt{3}/2, 2)$.$\vec{n_6} = \vec{FB} \times \vec{FD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\sqrt{3}) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(\frac{3\sqrt{3}}{2}) = (2\sqrt{3}, 0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$.

Сравним векторы $\vec{n_5}$ и $\vec{n_6}$.$\vec{n_5} = (-2\sqrt{3}, 0, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$$\vec{n_6} = (2\sqrt{3}, 0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$Видно, что $\vec{n_6} = -\vec{n_5}$. Это означает, что нормальные векторы коллинеарны (параллельны). Следовательно, плоскости $AE_1C_1$ и $FBD_1$ параллельны. Угол между ними равен 0.
Ответ: $0^\circ$.

е) $AE_1C_1$ и $F_1BC_1$

Нормальный вектор к плоскости $AE_1C_1$ уже найден: $\vec{n_5} = (-2\sqrt{3}, 0, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$. Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, умножив на $-2/\sqrt{3}$: $\vec{n_5'} = (4, 0, 3)$. Найдем нормальный вектор $\vec{n_7}$ к плоскости $F_1BC_1$. Точки: $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$.$\vec{BF_1} = (0, -\sqrt{3}, 2)$.$\vec{BC_1} = (-1, 0, 2)$.$\vec{n_7} = \vec{BF_1} \times \vec{BC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -\sqrt{3} & 2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2\sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 - (-2)) + \mathbf{k}(0 - \sqrt{3}) = (-2\sqrt{3}, -2, -\sqrt{3})$.

Найдем угол между $\vec{n_5'}$ и $\vec{n_7}$.$\vec{n_5'} \cdot \vec{n_7} = (4)(-2\sqrt{3}) + (0)(-2) + (3)(-\sqrt{3}) = -8\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = -11\sqrt{3}$.$|\vec{n_5'}|^2 = 4^2+0^2+3^2 = 16+9=25 \implies |\vec{n_5'}|=5$.$|\vec{n_7}|^2 = (-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2 + (-\sqrt{3})^2 = 12+4+3=19 \implies |\vec{n_7}|=\sqrt{19}$.$\cos \delta = \frac{|-11\sqrt{3}|}{5\sqrt{19}} = \frac{11\sqrt{3}}{5\sqrt{19}} = \frac{11\sqrt{57}}{95}$.
Ответ: $\arccos\frac{11\sqrt{57}}{95}$.