Номер 18, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

18. Чему равна сумма внутренних углов плоского многоугольника?

Сумма внутренних углов плоского многоугольника зависит от количества его сторон (или вершин), которое принято обозначать переменной $n$.

Чтобы найти эту сумму, можно использовать простой и наглядный метод. Рассмотрим произвольный выпуклый многоугольник с $n$ сторонами. Если выбрать одну из его вершин и провести из нее все возможные диагонали к остальным вершинам, то многоугольник будет разделен на несколько треугольников. Количество таких треугольников всегда будет на 2 меньше, чем количество сторон многоугольника, то есть $n-2$.

Например:

• Четырехугольник ($n=4$) разделяется на $4-2=2$ треугольника.
• Пятиугольник ($n=5$) разделяется на $5-2=3$ треугольника.
• Шестиугольник ($n=6$) разделяется на $6-2=4$ треугольника.

Сумма внутренних углов всего многоугольника будет равна сумме углов всех этих треугольников. Так как сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, для нахождения общей суммы нужно умножить $180^\circ$ на количество полученных треугольников.

Таким образом, формула для вычисления суммы $S$ внутренних углов плоского многоугольника с $n$ сторонами выглядит следующим образом:

$S = (n - 2) \times 180^\circ$

где $n$ — это количество сторон (или углов) многоугольника, причем $n \ge 3$.

Эта же формула, выраженная в радианах, имеет вид:

$S = (n - 2) \pi$

Эта формула справедлива как для выпуклых, так и для невыпуклых (вогнутых) простых многоугольников.

Ответ: Сумма внутренних углов плоского многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле $S = (n - 2) \times 180^\circ$.