Номер 684, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

684. Определите взаимное расположение прямых AB и CD, если:

a) A $(2; 1; -1)$, B $(2; 2; -2)$, C $(-2; 2; -2)$, D $(1; 2; 0);

б) A $(-2; 1; -1)$, B $(3; 2; -2)$, C $(-3; 2; 6)$, D $(3; 2; 10);

в) A $(-2; 1; -1)$, B $(-3; 2; -2)$, C $(-3; 2; 6)$, D $(-1; 0; 8);

г) A $(-2; 1; -1)$, B $(-3; 2; -2)$, C $(3; -4; 4)$, D $(1; -2; 6).

Чтобы определить взаимное расположение прямых в пространстве, сначала находят их направляющие векторы. Затем проверяют, коллинеарны ли эти векторы. Если векторы коллинеарны, прямые параллельны или совпадают. Если не коллинеарны, прямые пересекаются или скрещиваются.

Даны точки $A(2; 1; -1)$, $B(2; 2; -2)$, $C(-2; 2; -2)$, $D(1; 2; 0)$.

1. Найдем направляющие векторы прямых $AB$ и $CD$.

Направляющий вектор прямой $AB$: $\vec{u} = \vec{AB} = (2-2; 2-1; -2-(-1)) = (0; 1; -1)$.

Направляющий вектор прямой $CD$: $\vec{v} = \vec{CD} = (1-(-2); 2-2; 0-(-2)) = (3; 0; 2)$.

2. Проверим коллинеарность векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны.

Сравним отношения координат: $\frac{0}{3} \neq \frac{1}{0}$.

Так как координаты не пропорциональны, векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ не коллинеарны. Следовательно, прямые $AB$ и $CD$ не параллельны и не совпадают. Они либо пересекаются, либо скрещиваются.

3. Чтобы различить пересекающиеся и скрещивающиеся прямые, проверим, лежат ли они в одной плоскости. Для этого вычислим смешанное произведение векторов $\vec{u}$, $\vec{v}$ и вектора $\vec{AC}$, соединяющего точку на одной прямой с точкой на другой. Если произведение равно нулю, прямые лежат в одной плоскости (пересекаются). В противном случае — скрещиваются.

Найдем вектор $\vec{AC}$: $\vec{AC} = (-2-2; 2-1; -2-(-1)) = (-4; 1; -1)$.

Вычислим смешанное произведение $(\vec{AC}, \vec{u}, \vec{v})$ с помощью определителя:

$ \begin{vmatrix} -4 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} = -4(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 0) - 1(0 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) + (-1)(0 \cdot 0 - 1 \cdot 3) = -4(2) - 1(3) - 1(-3) = -8 - 3 + 3 = -8. $

Смешанное произведение не равно нулю ($-8 \neq 0$), значит векторы не компланарны, и прямые не лежат в одной плоскости.

Ответ: прямые скрещиваются.

Даны точки $A(-2; 1; -1)$, $B(3; 2; -2)$, $C(-3; 2; 6)$, $D(3; 2; 10)$.

1. Найдем направляющие векторы прямых $AB$ и $CD$.

$\vec{u} = \vec{AB} = (3-(-2); 2-1; -2-(-1)) = (5; 1; -1)$.

$\vec{v} = \vec{CD} = (3-(-3); 2-2; 10-6) = (6; 0; 4)$.

2. Проверим коллинеарность векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

Сравним отношения координат: $\frac{5}{6} \neq \frac{1}{0}$.

Векторы не коллинеарны, следовательно, прямые пересекаются или скрещиваются.

3. Проверим компланарность векторов $\vec{AC}$, $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

Найдем вектор $\vec{AC}$: $\vec{AC} = (-3-(-2); 2-1; 6-(-1)) = (-1; 1; 7)$.

Вычислим смешанное произведение:

$ \begin{vmatrix} -1 & 1 & 7 \\ 5 & 1 & -1 \\ 6 & 0 & 4 \end{vmatrix} = -1(1 \cdot 4 - (-1) \cdot 0) - 1(5 \cdot 4 - (-1) \cdot 6) + 7(5 \cdot 0 - 1 \cdot 6) = -1(4) - 1(20+6) + 7(-6) = -4 - 26 - 42 = -72. $

Смешанное произведение не равно нулю ($-72 \neq 0$), следовательно, прямые не лежат в одной плоскости.

Ответ: прямые скрещиваются.

Даны точки $A(-2; 1; -1)$, $B(-3; 2; -2)$, $C(-3; 2; 6)$, $D(-1; 0; 8)$.

1. Найдем направляющие векторы прямых $AB$ и $CD$.

$\vec{u} = \vec{AB} = (-3-(-2); 2-1; -2-(-1)) = (-1; 1; -1)$.

$\vec{v} = \vec{CD} = (-1-(-3); 0-2; 8-6) = (2; -2; 2)$.

2. Проверим коллинеарность векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

Сравним отношения координат: $\frac{2}{-1} = -2$; $\frac{-2}{1} = -2$; $\frac{2}{-1} = -2$.

Так как отношения координат равны ($\vec{v} = -2\vec{u}$), векторы коллинеарны. Это означает, что прямые $AB$ и $CD$ либо параллельны, либо совпадают.

3. Чтобы различить эти два случая, проверим, лежит ли точка одной прямой на другой. Возьмем точку $A(-2; 1; -1)$ и проверим, принадлежит ли она прямой $CD$. Для этого вектор $\vec{AC}$ должен быть коллинеарен направляющему вектору $\vec{v}$.

Найдем вектор $\vec{AC}$: $\vec{AC} = (-3-(-2); 2-1; 6-(-1)) = (-1; 1; 7)$.

Проверим коллинеарность векторов $\vec{AC}$ и $\vec{v}$: $\frac{2}{-1} = -2$; $\frac{-2}{1} = -2$; $\frac{2}{7}$.

Отношения координат не равны ($-2 \neq \frac{2}{7}$), значит, вектор $\vec{AC}$ не коллинеарен вектору $\vec{v}$. Следовательно, точка $A$ не лежит на прямой $CD$.

Ответ: прямые параллельны.

Даны точки $A(-2; 1; -1)$, $B(-3; 2; -2)$, $C(3; -4; 4)$, $D(1; -2; 6)$.

1. Найдем направляющие векторы прямых $AB$ и $CD$.

$\vec{u} = \vec{AB} = (-3-(-2); 2-1; -2-(-1)) = (-1; 1; -1)$.

$\vec{v} = \vec{CD} = (1-3; -2-(-4); 6-4) = (-2; 2; 2)$.

2. Проверим коллинеарность векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

Сравним отношения координат: $\frac{-2}{-1} = 2$; $\frac{2}{1} = 2$; $\frac{2}{-1} = -2$.

Отношения координат не равны ($2 \neq -2$), следовательно, векторы не коллинеарны. Прямые $AB$ и $CD$ либо пересекаются, либо скрещиваются.

3. Проверим компланарность векторов $\vec{AC}$, $\vec{u}$ и $\vec{v}$.

Найдем вектор $\vec{AC}$: $\vec{AC} = (3-(-2); -4-1; 4-(-1)) = (5; -5; 5)$.

Вычислим смешанное произведение:

$ \begin{vmatrix} 5 & -5 & 5 \\ -1 & 1 & -1 \\ -2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 5(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2) - (-5)((-1) \cdot 2 - (-1) \cdot (-2)) + 5((-1) \cdot 2 - 1 \cdot (-2)) = 5(2+2) + 5(-2-2) + 5(-2+2) = 5(4) + 5(-4) + 5(0) = 20 - 20 + 0 = 0. $

Смешанное произведение равно нулю, значит векторы компланарны. Так как направляющие векторы прямых не коллинеарны, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются.

Ответ: прямые пересекаются.