Номер 551, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

551. Определите, на каком расстоянии от вершины треугольника с высотой 4 см нужно провести прямую, параллельную стороне, к которой проведена эта высота, чтобы площадь треугольника разделилась в отношении $m : n$, если считать от вершины.

Пусть дан исходный треугольник с высотой $h = 4$ см и основанием $a$. Его площадь $S = \frac{1}{2}ah$.

Проведем прямую, параллельную основанию, на расстоянии $x$ от вершины. Эта прямая отсекает от исходного треугольника подобный ему меньший треугольник. Высота этого меньшего треугольника равна $x$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих высот. Пусть $S_{мал}$ — площадь меньшего треугольника, а $S$ — площадь исходного треугольника. Тогда: $$ \frac{S_{мал}}{S} = \left(\frac{x}{h}\right)^2 $$

По условию, проведенная прямая делит площадь исходного треугольника на две части в отношении $m:n$, считая от вершины. Это означает, что площадь отсеченного треугольника ($S_{мал}$) и площадь оставшейся части (трапеции, $S_{трап}$) относятся как $m:n$: $$ \frac{S_{мал}}{S_{трап}} = \frac{m}{n} $$

Площадь всего исходного треугольника $S$ равна сумме площадей этих двух частей: $$ S = S_{мал} + S_{трап} $$ Из отношения $S_{мал}/S_{трап} = m/n$ следует, что $S_{трап} = S_{мал} \cdot \frac{n}{m}$. Подставим это в формулу для полной площади: $$ S = S_{мал} + S_{мал} \cdot \frac{n}{m} = S_{мал} \left(1 + \frac{n}{m}\right) = S_{мал} \left(\frac{m+n}{m}\right) $$

Отсюда найдем отношение площади малого треугольника к площади всего треугольника: $$ \frac{S_{мал}}{S} = \frac{m}{m+n} $$

Теперь приравняем два полученных выражения для отношения $\frac{S_{мал}}{S}$: $$ \left(\frac{x}{h}\right)^2 = \frac{m}{m+n} $$

Подставим известное значение высоты $h=4$ см и решим уравнение относительно $x$: $$ \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{m}{m+n} $$ $$ \frac{x^2}{16} = \frac{m}{m+n} $$ $$ x^2 = 16 \cdot \frac{m}{m+n} $$ Так как расстояние $x$ должно быть положительным, извлекаем квадратный корень: $$ x = \sqrt{16 \cdot \frac{m}{m+n}} = 4\sqrt{\frac{m}{m+n}} $$

Ответ: прямую нужно провести на расстоянии $4\sqrt{\frac{m}{m+n}}$ см от вершины.