Номер 548, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

548. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые делит его гипотенузу точка касания с вписанной в треугольник окружностью.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Вписанная в него окружность касается гипотенузы в точке, которая делит ее на отрезки длиной $m$ и $n$.

Необходимо доказать, что площадь треугольника $S$ равна произведению этих отрезков, то есть $S = mn$.

Доказательство

Обозначим радиус вписанной окружности как $r$. Используя свойство касательных, проведенных из одной вершины к окружности, выразим катеты треугольника через $m$, $n$ и $r$.
Для прямоугольного треугольника отрезки от вершины прямого угла до точек касания на катетах равны радиусу вписанной окружности. Отрезки от вершин острых углов до точек касания на гипотенузе и прилежащих катетах равны $m$ и $n$ соответственно.
Таким образом, длины катетов равны:
$a = n + r$
$b = m + r$
Длина гипотенузы: $c = m + n$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Подставим выражения для $a$ и $b$:
$S = \frac{1}{2}(n+r)(m+r) = \frac{1}{2}(mn + mr + nr + r^2)$

Теперь применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(n+r)^2 + (m+r)^2 = (m+n)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$(n^2 + 2nr + r^2) + (m^2 + 2mr + r^2) = m^2 + 2mn + n^2$
Сократив одинаковые члены ($m^2$ и $n^2$) в обеих частях, получим:
$2mr + 2nr + 2r^2 = 2mn$
Разделив обе части на 2, получим:
$mr + nr + r^2 = mn$

Мы получили равенство, связывающее $m, n, r$. Теперь подставим правую часть этого равенства ($mn$) в формулу для площади вместо выражения ($mr + nr + r^2$):
$S = \frac{1}{2}(mn + (mr + nr + r^2)) = \frac{1}{2}(mn + mn) = \frac{1}{2}(2mn) = mn$

Таким образом, мы доказали, что $S = mn$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.