Номер 410, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

410. Найдите угол между:

a) высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины треугольника, учитывая, что углы против этой вершины равны $\alpha$ и $\beta$;

б) высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, учитывая, что его острый угол равен $\alpha$.

а)

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором из вершины $B$ проведены высота $BH$ и биссектриса $BL$. Углы при основании $AC$ равны $\angle A = \alpha$ и $\angle C = \beta$. Требуется найти угол между высотой и биссектрисой, то есть $\angle HBL$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $B$ равен:
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Так как $BL$ — биссектриса угла $\angle ABC$, она делит этот угол пополам:
$\angle ABL = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{180^\circ - (\alpha + \beta)}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (поскольку $BH$ — высота, $\angle BHA = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Поэтому:
$\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha$.

Искомый угол $\angle HBL$ — это разность между углами $\angle ABL$ и $\angle ABH$. В зависимости от того, какой из углов $\alpha$ или $\beta$ больше, биссектриса $BL$ может лежать по одну или по другую сторону от высоты $BH$. Поэтому мы берем модуль разности:
$\angle HBL = |\angle ABL - \angle ABH| = \left| \left(90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\right) - (90^\circ - \alpha) \right|$
$\angle HBL = \left| 90^\circ - \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} - 90^\circ + \alpha \right| = \left| \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} \right| = \frac{|\alpha - \beta|}{2}$.

Таким образом, угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины, равен половине модуля разности двух других углов треугольника.

Ответ: $\frac{|\alpha - \beta|}{2}$.

б)

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Из вершины $C$ проведены высота $CH$ и медиана $CM$ на гипотенузу $AB$. Один из острых углов треугольника равен $\alpha$. Пусть $\angle A = \alpha$. Тогда другой острый угол $\angle B = 90^\circ - \alpha$. Требуется найти угол между высотой и медианой, то есть $\angle HCM$.

По свойству медианы, проведенной к гипотенузе, ее длина равна половине гипотенузы. То есть, $CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Так как $CM = AM$, он является равнобедренным. Углы при основании $AC$ равны, следовательно:
$\angle ACM = \angle MAC = \angle A = \alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (поскольку $CH$ — высота, $\angle CHA = 90^\circ$). Сумма острых углов в нем равна $90^\circ$. Поэтому:
$\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha$.

Искомый угол $\angle HCM$ является разностью углов $\angle ACH$ и $\angle ACM$. Так как мы не знаем, какой из углов $\alpha$ или $90^\circ - \alpha$ больше, мы берем модуль разности:
$\angle HCM = |\angle ACH - \angle ACM| = |(90^\circ - \alpha) - \alpha| = |90^\circ - 2\alpha|$.

Заметим, что этот угол равен модулю разности острых углов самого треугольника $ABC$: $|\angle A - \angle B| = |\alpha - (90^\circ - \alpha)| = |2\alpha - 90^\circ| = |90^\circ - 2\alpha|$.

Ответ: $|90^\circ - 2\alpha|$.