Номер 403, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

403. Докажите, что биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника с разными катетами делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Проведем из вершины $C$ к гипотенузе $AB$ высоту $CH$, медиану $CM$ и биссектрису $CL$. По условию, катеты треугольника не равны, то есть $AC \neq BC$. Нам необходимо доказать, что $CL$ является биссектрисой угла $MCH$, то есть $\angle MCL = \angle LCH$.

Обозначим величины острых углов треугольника $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а угол $C$ прямой ($90^\circ$), то сумма острых углов составляет $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Рассмотрим последовательно углы, которые образуют высота, медиана и биссектриса с одним из катетов, например, с катетом $AC$.

1. Угол между высотой $CH$ и катетом $AC$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ (угол $\angle AHC = 90^\circ$, так как $CH$ - высота), угол $\angle ACH$ равен $90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha$. Так как $\alpha + \beta = 90^\circ$, то $\angle ACH = \beta$.

2. Угол между медианой $CM$ и катетом $AC$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Таким образом, $CM = AM = BM$. Отсюда следует, что треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Следовательно, углы при основании равны: $\angle ACM = \angle A = \alpha$.

3. Угол между биссектрисой $CL$ и катетом $AC$. По определению биссектрисы, $CL$ делит прямой угол $C$ на два равных угла. Значит, $\angle ACL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь нам нужно доказать, что $\angle MCL = \angle LCH$. Для этого выразим эти углы через $\alpha$ и $\beta$.

По условию катеты не равны, $AC \neq BC$, значит и углы при гипотенузе не равны, $\alpha \neq \beta$. Предположим, без ограничения общности, что катет $AC$ меньше катета $BC$. В таком случае, напротив большего катета лежит больший угол, то есть $\angle A > \angle B$, или $\alpha > \beta$.

Из соотношений $\alpha + \beta = 90^\circ$ и $\alpha > \beta$ следует, что $\alpha > 45^\circ$ и $\beta < 45^\circ$.

Сравним величины углов, образованных с катетом $AC$:$\angle ACH = \beta < 45^\circ$$\angle ACL = 45^\circ$$\angle ACM = \alpha > 45^\circ$

Так как $\angle ACH < \angle ACL < \angle ACM$, луч $CL$ проходит между лучами $CH$ и $CM$. Значит, угол $MCH$ состоит из двух углов: $\angle LCH$ и $\angle MCL$.

Найдем величину каждого из этих углов:$\angle LCH = \angle ACL - \angle ACH = 45^\circ - \beta$$\angle MCL = \angle ACM - \angle ACL = \alpha - 45^\circ$

Чтобы доказать, что $CL$ является биссектрисой угла $MCH$, необходимо показать, что $\angle LCH = \angle MCL$. Проверим равенство $45^\circ - \beta = \alpha - 45^\circ$.

Перегруппируем слагаемые: $45^\circ + 45^\circ = \alpha + \beta$.

Получаем $90^\circ = \alpha + \beta$.

Это равенство истинно, поскольку $\alpha$ и $\beta$ являются острыми углами прямоугольного треугольника. Следовательно, $\angle LCH = \angle MCL$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.