Номер 3, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Как найти точку по ее известным координатам на плоскости; в пространстве?

На плоскости

Для того чтобы найти точку по ее координатам на плоскости, используется прямоугольная (декартова) система координат. Эта система образована двумя взаимно перпендикулярными числовыми осями: горизонтальной осью абсцисс $Ox$ и вертикальной осью ординат $Oy$. Точка их пересечения $O$ называется началом координат и имеет координаты $(0; 0)$.

Положение любой точки $M$ на плоскости однозначно задается упорядоченной парой чисел $(x; y)$, где $x$ — это абсцисса точки, а $y$ — ее ордината.

Алгоритм построения (нахождения) точки $M(x; y)$ следующий:
1. На оси абсцисс $Ox$ найти точку, соответствующую числовому значению $x$.
2. Через эту точку мысленно или с помощью чертежного инструмента провести прямую, параллельную оси ординат $Oy$.
3. На оси ординат $Oy$ найти точку, соответствующую числовому значению $y$.
4. Через эту точку провести прямую, параллельную оси абсцисс $Ox$.
5. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $M(x; y)$.

Например, чтобы найти точку $A(4; -3)$, нужно от начала координат отложить 4 единицы вправо по оси $Ox$, а затем 3 единицы вниз параллельно оси $Oy$. Другими словами, найти на оси $Ox$ отметку $4$ и провести через нее вертикальную прямую, а на оси $Oy$ найти отметку $-3$ и провести через нее горизонтальную прямую. Точка их пересечения и будет точкой $A$.

Ответ: Чтобы найти точку с координатами $(x; y)$ на плоскости, необходимо отложить от начала координат величину $x$ по оси $Ox$ и величину $y$ по оси $Oy$. Точка, находящаяся на пересечении перпендикуляров, проведенных из этих отметок к соответствующим осям, и будет искомой.

В пространстве

В трехмерном пространстве для определения положения точки используется прямоугольная система координат, которая состоит из трех взаимно перпендикулярных осей: оси абсцисс $Ox$, оси ординат $Oy$ и оси аппликат $Oz$. Оси пересекаются в начале координат $O(0; 0; 0)$.

Положение любой точки $P$ в пространстве задается упорядоченной тройкой чисел $(x; y; z)$, где $x$ — абсцисса, $y$ — ордината, а $z$ — аппликата.

Алгоритм нахождения точки $P(x; y; z)$ в пространстве:
1. Сначала в плоскости $xOy$ строится проекция искомой точки — точка $P_{xy}$ с координатами $(x; y)$. Это делается аналогично построению на плоскости: на осях $Ox$ и $Oy$ находят значения $x$ и $y$ и находят их точку "встречи" в плоскости $xOy$.
2. Из найденной точки $P_{xy}(x; y; 0)$ проводится прямая, параллельная третьей оси — оси аппликат $Oz$.
3. На этой прямой от точки $P_{xy}$ откладывается отрезок, длина которого равна модулю аппликаты, то есть $|z|$. Если $z > 0$, отрезок откладывается в положительном направлении оси $Oz$ (часто изображается "вверх"). Если $z < 0$, то в отрицательном направлении ("вниз").
4. Конец построенного отрезка является искомой точкой $P(x; y; z)$.

Этот процесс можно представить как построение прямоугольного параллелепипеда, одна вершина которого находится в начале координат, а противоположная ей — это искомая точка $P(x; y; z)$.

Например, для построения точки $B(2; 5; 4)$, сначала в плоскости $xOy$ находим точку с координатами $(2; 5)$, а затем из этой точки "поднимаемся" вверх параллельно оси $Oz$ на 4 единицы.

Ответ: Чтобы найти точку $(x; y; z)$ в пространстве, нужно сначала найти в плоскости $xOy$ точку с координатами $(x; y)$, а затем из полученной точки переместиться параллельно оси $Oz$ на расстояние $z$ (в положительном направлении оси, если $z > 0$, и в отрицательном, если $z < 0$).