Номер 13, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Какие векторы называются компланарными? Какое свойство имеют компланарные векторы?

Какие векторы называются компланарными?

Векторы называются компланарными (от лат. co — «совместно» и planum — «плоскость»), если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Более строгое определение гласит: несколько векторов называются компланарными, если после приведения их к общему началу они оказываются лежащими в одной плоскости.

Важно отметить следующие частные случаи:

• Любые два вектора всегда компланарны, так как через две пересекающиеся прямые (которыми можно представить векторы, отложенные от одной точки) всегда можно провести единственную плоскость.
• Три и более векторов могут быть как компланарными, так и некомпланарными.
• Если один из векторов в наборе является нулевым, то весь набор векторов считается компланарным.
• Если в наборе из трех и более векторов есть два коллинеарных вектора (лежащих на одной или параллельных прямых), то весь набор векторов является компланарным.

Ответ: Векторы, которые при приведении к общему началу лежат в одной плоскости, называются компланарными.

Какое свойство имеют компланарные векторы?

Основное свойство компланарных векторов заключается в их линейной зависимости. Это свойство является критерием компланарности и имеет важное практическое применение.

1. Линейная зависимость и разложение по базису.
Три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. Это означает, что один из них можно выразить через линейную комбинацию двух других (при условии, что эти два не коллинеарны). Например, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то компланарный им вектор $\vec{c}$ можно единственным образом представить в виде: $$ \vec{c} = x \cdot \vec{a} + y \cdot \vec{b} $$ где $x$ и $y$ — некоторые числовые коэффициенты (скаляры). Это свойство лежит в основе разложения вектора по базису на плоскости.

2. Смешанное произведение (для трех векторов в пространстве).
Алгебраическим критерием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Смешанное произведение векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ — это скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий вектор, которое обозначается как $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.

Геометрический смысл модуля смешанного произведения — это объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Если векторы компланарны, они лежат в одной плоскости, и такой "сплющенный" параллелепипед имеет нулевой объем.

Следовательно, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны тогда и только тогда, когда: $$ (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 $$ Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной системе координат: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$, $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ и $\vec{c} = (c_x, c_y, c_z)$, то условие компланарности равносильно равенству нулю определителя, составленного из их координат: $$ \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} = 0 $$

Ответ: Основное свойство компланарных векторов — их линейная зависимость. Для трех векторов это свойство аналитически выражается через равенство нулю их смешанного произведения.