Номер 54, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

54. Сформулируйте признаки равенства треугольников; признаки подобия тре-угольников.

Признаки равенства треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. Существует три основных признака равенства треугольников, которые позволяют установить равенство двух треугольников по меньшему числу элементов.

1. Первый признак (по двум сторонам и углу между ними, СУС):
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: если $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

2. Второй признак (по стороне и двум прилежащим к ней углам, УСУ):
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: если $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

3. Третий признак (по трем сторонам, ССС):
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: если $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Признаки равенства треугольников: 1) по двум сторонам и углу между ними; 2) по стороне и двум прилежащим к ней углам; 3) по трем сторонам.

Признаки подобия треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (т.е. сторонам, лежащим против равных углов). Коэффициент пропорциональности $k$ называется коэффициентом подобия. Существует три признака подобия.

1. Первый признак (по двум углам):
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: если $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

2. Второй признак (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними):
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$ и $\angle A = \angle A_1$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

3. Третий признак (по трем пропорциональным сторонам):
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$, то $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Признаки подобия треугольников: 1) по двум углам; 2) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; 3) по трем пропорциональным сторонам.