Номер 730, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

730. Постройте окружность данного радиуса, которая:

а) проходит через данную точку и касается данной прямой;

б) касается данной окружности и данной прямой;

в) проходит через данную точку и высекает из данной прямой хорду данной длины;

г) касается данной окружности и высекает из данной прямой хорду данной длины;

д) касается двух данных пересекающихся прямых;

е) касается одной из данных пересекающихся прямых и высекает на другой хорду данной длины;

ж) высекает из данных пересекающихся прямых хорды данной длины.

Решение всех пунктов основано на методе геометрических мест точек (ГМТ). Центр искомой окружности должен удовлетворять двум условиям, каждое из которых определяет некоторое ГМТ (прямую, окружность, пару прямых и т.д.). Искомый центр находится на пересечении этих ГМТ.

а) проходит через данную точку и касается данной прямой

Пусть дана точка $A$, прямая $l$ и радиус $R$. Центр искомой окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:

1. Расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно $R$. Геометрическое место таких точек — окружность с центром в $A$ и радиусом $R$.
2. Расстояние от центра $O$ до прямой $l$ равно $R$. Геометрическое место таких точек — пара прямых, параллельных $l$ и отстоящих от нее на расстояние $R$.

Построение:

1. Строим окружность $C_A$ с центром в точке $A$ и радиусом $R$.
2. Строим две прямые, $l_1$ и $l_2$, параллельные прямой $l$ и находящиеся на расстоянии $R$ от нее (по разные стороны).
3. Точки пересечения окружности $C_A$ с прямыми $l_1$ и $l_2$ являются искомыми центрами. В зависимости от расположения точки $A$ и прямой $l$ может быть от нуля до двух решений.
4. Строим окружность (или окружности) с найденным центром (центрами) и радиусом $R$.

Ответ: Центр искомой окружности является точкой пересечения окружности с центром в данной точке и радиусом $R$ и двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от нее на расстояние $R$.

б) касается данной окружности и данной прямой

Пусть дана окружность $C_1$ с центром $O_1$ и радиусом $R_1$, прямая $l$ и радиус искомой окружности $R$. Центр искомой окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:

1. Расстояние от центра $O$ до прямой $l$ равно $R$. ГМТ — пара прямых, параллельных $l$ и отстоящих от нее на расстояние $R$.
2. Искомая окружность касается данной окружности $C_1$. Это означает, что расстояние между их центрами $O$ и $O_1$ равно $R+R_1$ (внешнее касание) или $|R-R_1|$ (внутреннее касание). ГМТ — две концентрические окружности с центром в $O_1$ и радиусами $R+R_1$ и $|R-R_1|$.

Построение:

1. Строим две прямые, $l_1$ и $l_2$, параллельные прямой $l$ и находящиеся на расстоянии $R$ от нее.
2. Строим две окружности с центром в $O_1$: окружность $C_{ext}$ с радиусом $R+R_1$ и окружность $C_{int}$ с радиусом $|R-R_1|$.
3. Точки пересечения прямых $l_1, l_2$ с окружностями $C_{ext}, C_{int}$ являются искомыми центрами. Может быть до восьми решений.
4. Строим окружности с найденными центрами и радиусом $R$.

Ответ: Центр искомой окружности является точкой пересечения двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от нее на расстояние $R$, и двух окружностей, концентрических данной, с радиусами $R+R_1$ и $|R-R_1|$.

в) проходит через данную точку и высекает из данной прямой хорду данной длины

Пусть дана точка $A$, прямая $l$, радиус $R$ и длина хорды $2d$. Центр искомой окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:

1. Расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно $R$. ГМТ — окружность с центром в $A$ и радиусом $R$.
2. Окружность высекает на прямой $l$ хорду длиной $2d$. Расстояние $h$ от центра окружности $O$ до прямой $l$ связано с радиусом $R$ и половиной длины хорды $d$ по теореме Пифагора: $h^2 + d^2 = R^2$. Отсюда $h = \sqrt{R^2 - d^2}$. Это возможно только при $R \ge d$. ГМТ — пара прямых, параллельных $l$ и отстоящих от нее на расстояние $h$.

Построение:

1. Если $R < d$, решений нет.
2. Строим отрезок длины $h = \sqrt{R^2 - d^2}$. Для этого строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ и катетом $d$; второй катет будет иметь длину $h$.
3. Строим две прямые, $l_1$ и $l_2$, параллельные прямой $l$ и находящиеся на расстоянии $h$ от нее.
4. Строим окружность $C_A$ с центром в точке $A$ и радиусом $R$.
5. Точки пересечения окружности $C_A$ с прямыми $l_1, l_2$ являются искомыми центрами. Может быть до четырех решений.
6. Строим окружности с найденными центрами и радиусом $R$.

Ответ: Центр искомой окружности является точкой пересечения окружности с центром в данной точке и радиусом $R$ и двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от нее на расстояние $h = \sqrt{R^2 - d^2}$, где $2d$ - длина хорды.

г) касается данной окружности и высекает из данной прямой хорду данной длины

Пусть дана окружность $C_1(O_1, R_1)$, прямая $l$, радиус $R$ и длина хорды $2d$. Центр искомой окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:

1. Расстояние от центра $O$ до прямой $l$ равно $h = \sqrt{R^2 - d^2}$ (при $R \ge d$). ГМТ — пара прямых, параллельных $l$ и отстоящих от нее на расстояние $h$.
2. Расстояние между центрами $O$ и $O_1$ равно $R+R_1$ или $|R-R_1|$. ГМТ — две окружности с центром в $O_1$ и радиусами $R+R_1$ и $|R-R_1|$.

Построение:

1. Если $R < d$, решений нет.
2. Строим расстояние $h = \sqrt{R^2 - d^2}$.
3. Строим две прямые, $l_1$ и $l_2$, параллельные прямой $l$ и находящиеся на расстоянии $h$ от нее.
4. Строим две окружности с центром в $O_1$: $C_{ext}$ с радиусом $R+R_1$ и $C_{int}$ с радиусом $|R-R_1|$.
5. Точки пересечения прямых $l_1, l_2$ с окружностями $C_{ext}, C_{int}$ являются искомыми центрами. Может быть до восьми решений.
6. Строим окружности с найденными центрами и радиусом $R$.

Ответ: Центр искомой окружности является точкой пересечения двух прямых, параллельных данной прямой и отстоящих от нее на расстояние $h=\sqrt{R^2-d^2}$, и двух окружностей, концентрических данной, с радиусами $R+R_1$ и $|R-R_1|$.

д) касается двух данных пересекающихся прямых

Пусть даны пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$ и радиус $R$. Центр искомой окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:

1. Центр $O$ равноудален от прямых $l_1$ и $l_2$. ГМТ — пара биссектрис углов, образованных этими прямыми.
2. Расстояние от центра $O$ до одной из прямых (а значит, и до второй) равно $R$.

Построение:

1. Строим биссектрисы $b_1$ и $b_2$ четырех углов, образованных прямыми $l_1$ и $l_2$.
2. Строим прямую $l'$, параллельную $l_1$ и отстоящую от нее на расстояние $R$.
3. Прямая $l'$ пересечет биссектрисы в двух точках. Это центры двух искомых окружностей.
4. Строим прямую $l''$, также параллельную $l_1$ и отстоящую от нее на расстояние $R$, но расположенную с другой стороны от $l_1$. Она также пересечет биссектрисы в двух точках, давая еще два центра.
5. Всего существует четыре центра, по одному в каждом угле, образованном прямыми. Строим четыре окружности с найденными центрами и радиусом $R$.

Ответ: Центры искомых окружностей являются точками пересечения биссектрис углов между данными прямыми и прямых, параллельных одной из данных и отстоящих от нее на расстояние $R$.

е) касается одной из данных пересекающихся прямых и высекает на другой хорду данной длины

Пусть даны пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$, радиус $R$ и длина хорды $2d$. Задача имеет два толкования:

Случай 1: Окружность касается $l_1$ и высекает хорду на $l_2$.

Центр $O$ должен удовлетворять условиям:

1. Расстояние от $O$ до $l_1$ равно $R$. ГМТ — пара прямых, параллельных $l_1$ на расстоянии $R$.
2. Расстояние от $O$ до $l_2$ равно $h = \sqrt{R^2 - d^2}$ (при $R \ge d$). ГМТ — пара прямых, параллельных $l_2$ на расстоянии $h$.

Случай 2: Окружность касается $l_2$ и высекает хорду на $l_1$. (Аналогично)

Построение (для случая 1):

1. Если $R < d$, решений нет.
2. Строим расстояние $h = \sqrt{R^2 - d^2}$.
3. Строим две прямые, параллельные $l_1$ и отстоящие от нее на $R$.
4. Строим две прямые, параллельные $l_2$ и отстоящие от нее на $h$.
5. Четыре точки пересечения этих двух пар параллельных прямых являются искомыми центрами.
6. Аналогичное построение для случая 2 дает еще четыре центра.
7. Строим все найденные окружности (до восьми) с радиусом $R$.

Ответ: В общем случае существует до 8 решений. Центры находятся в точках пересечения пар прямых, параллельных данным: одна пара отстоит от первой прямой на расстояние $R$, вторая — от второй прямой на расстояние $h=\sqrt{R^2-d^2}$, и наоборот.

ж) высекает из данных пересекающихся прямых хорды данной длины

Пусть даны пересекающиеся прямые $l_1, l_2$, радиус $R$ и длина хорды $2d$ (одинаковая для обеих прямых). Центр искомой окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям (при $R \ge d$):

1. Расстояние от $O$ до $l_1$ равно $h = \sqrt{R^2 - d^2}$. ГМТ — пара прямых, параллельных $l_1$ на расстоянии $h$.
2. Расстояние от $O$ до $l_2$ равно $h = \sqrt{R^2 - d^2}$. ГМТ — пара прямых, параллельных $l_2$ на расстоянии $h$.

Поскольку центр $O$ равноудален от $l_1$ и $l_2$, он должен лежать на биссектрисах углов между ними.

Построение:

1. Если $R \le d$, решений нет (при $R=d$ хорда имеет нулевую длину, что является касанием).
2. Строим расстояние $h = \sqrt{R^2 - d^2}$.
3. Строим биссектрисы $b_1$ и $b_2$ углов между $l_1$ и $l_2$.
4. Строим прямую $l'$, параллельную $l_1$ и отстоящую от нее на расстояние $h$.
5. Точки пересечения прямой $l'$ с биссектрисами $b_1, b_2$ являются двумя из искомых центров.
6. Аналогично, прямая, параллельная $l_1$ с другой стороны, даст еще два центра. Всего 4 решения.
7. Строим окружности с найденными центрами и радиусом $R$.

Ответ: Центры искомых окружностей являются точками пересечения биссектрис углов между данными прямыми и прямых, параллельных одной из данных и отстоящих от нее на расстояние $h=\sqrt{R^2-d^2}$.