Номер 69, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

69. Равносторонний треугольник со стороной $\sqrt{3}$ см является основанием треугольной призмы, у которой одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех сторон нижнего основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол в $60^\circ$. Найдите боковую поверхность призмы и ее объем.

Пусть основанием призмы является равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = \sqrt{3}$ см. Пусть верхнее основание — $A_1B_1C_1$. По условию, одна из вершин верхнего основания, например $A_1$, равноудалена от всех сторон нижнего основания. Это означает, что проекция точки $A_1$ на плоскость $ABC$ является центром вписанной окружности треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, его центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с центром описанной окружности (циркумцентром), который мы обозначим как $O$. Таким образом, отрезок $A_1O$ является высотой призмы $H$.

Угол между боковым ребром $AA_1$ и плоскостью основания $ABC$ — это угол между ребром $AA_1$ и его проекцией $AO$ на эту плоскость, то есть $\angle A_1AO = 60^{\circ}$.

Найдем радиус описанной окружности основания $R$, который равен длине отрезка $AO$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$:$R = AO = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 \text{ см.}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$ ($\angle A_1OA = 90^{\circ}$):

• Высота призмы: $H = A_1O = AO \cdot \tan(60^{\circ}) = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ см.}$
• Длина бокового ребра: $l = AA_1 = \frac{AO}{\cos(60^{\circ})} = \frac{1}{1/2} = 2 \text{ см.}$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей трех боковых граней, которые являются параллелограммами: $S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CAA_1C_1}$.

1. Грань $BCC_1B_1$. Это параллелограмм со сторонами $BC=a=\sqrt{3}$ и $BB_1=l=2$. В равностороннем треугольнике $ABC$ радиус описанной окружности $AO$, проведенный к вершине $A$, лежит на высоте и медиане, опущенной на сторону $BC$. Следовательно, $AO \perp BC$. Так как $AO$ является проекцией наклонной $AA_1$ на плоскость основания, а $BC$ — прямая в этой плоскости, перпендикулярная проекции, то по теореме о трех перпендикулярах, наклонная $AA_1$ также перпендикулярна прямой $BC$. Поскольку боковые ребра призмы параллельны ($BB_1 \| AA_1$), то и $BB_1 \perp BC$. Это означает, что грань $BCC_1B_1$ является прямоугольником. Ее площадь: $S_{BCC_1B_1} = BC \cdot BB_1 = a \cdot l = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Грани $ABB_1A_1$ и $CAA_1C_1$. В силу симметрии задачи относительно плоскости, проходящей через ребро $AA_1$ и высоту $A_1O$, эти два параллелограмма равны, и их площади одинаковы. Найдем площадь грани $CAA_1C_1$. Ее площадь равна удвоенной площади треугольника $\triangle A_1AC$. Найдем длины сторон этого треугольника:

• $AC = a = \sqrt{3} \text{ см.}$
• $AA_1 = l = 2 \text{ см.}$
• Сторону $A_1C$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle A_1OC$ (где $\angle A_1OC = 90^{\circ}$), используя ранее найденные значения $A_1O = H = \sqrt{3}$ см и $OC = R = 1$ см. По теореме Пифагора: $A_1C = \sqrt{A_1O^2 + OC^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 \text{ см.}$

Таким образом, $\triangle A_1AC$ — равнобедренный со сторонами $\sqrt{3}, 2, 2$. Найдем его площадь по формуле Герона. Полупериметр: $p = \frac{\sqrt{3}+2+2}{2} = \frac{4+\sqrt{3}}{2}$. Площадь $S_{\triangle A_1AC} = \sqrt{p(p-AC)(p-AA_1)(p-A_1C)} = \sqrt{\frac{4+\sqrt{3}}{2} \left(\frac{4+\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}\right) \left(\frac{4+\sqrt{3}}{2} - 2\right)^2} = \sqrt{\frac{4+\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4-\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{16-3}{4} \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{13 \cdot 3}{16}} = \frac{\sqrt{39}}{4} \text{ см}^2$. Площадь параллелограмма $S_{CAA_1C_1} = 2 \cdot S_{\triangle A_1AC} = 2 \cdot \frac{\sqrt{39}}{4} = \frac{\sqrt{39}}{2} \text{ см}^2$. Площадь $S_{ABB_1A_1}$ также равна $\frac{\sqrt{39}}{2} \text{ см}^2$.

3. Общая площадь боковой поверхности:$S_{бок} = S_{BCC_1B_1} + S_{CAA_1C_1} + S_{ABB_1A_1} = 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{39}}{2} + \frac{\sqrt{39}}{2} = 2\sqrt{3} + \sqrt{39} \text{ см}^2$.

Ответ: $(2\sqrt{3} + \sqrt{39}) \text{ см}^2$.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Площадь основания (равностороннего треугольника со стороной $a=\sqrt{3}$):$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$.

2. Высота призмы, как мы нашли ранее, $H = \sqrt{3} \text{ см.}$

3. Объем призмы:$V = S_{осн} \cdot H = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = 2.25 \text{ см}^3$.

Ответ: $2.25 \text{ см}^3$.