Номер 662, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

662. Около куба описана сфера. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки этой сферы до вершин куба равна сумме квадратов всех ребер куба. Как изменится это утверждение, если рассматривать точки вписанной в куб сферы?

Доказательство для случая описанной сферы

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Поместим центр куба и описанной около него сферы в начало координат $O(0, 0, 0)$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Радиус $R$ описанной сферы равен расстоянию от центра до любой из 8 вершин куба. Большая диагональ куба равна $a\sqrt{3}$, поэтому $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Квадрат радиуса равен $R^2 = \frac{3a^2}{4}$.

Пусть $P$ — произвольная точка на описанной сфере. Обозначим ее радиус-вектор как $\vec{p}$. Радиус-векторы вершин куба обозначим как $\vec{v}_i$ (для $i=1, 2, ..., 8$). Для любой точки $P$ на сфере выполняется условие $|\vec{p}|^2 = R^2$. Аналогично, для любой вершины куба $V_i$ выполняется $|\vec{v}_i|^2 = R^2$.

Требуется доказать, что сумма квадратов расстояний от точки $P$ до всех вершин куба равна сумме квадратов длин всех ребер куба.

Сумма квадратов расстояний от точки $P$ до вершин куба $V_i$ выражается как: $S = \sum_{i=1}^{8} |PV_i|^2 = \sum_{i=1}^{8} |\vec{p} - \vec{v}_i|^2$.

Распишем квадрат модуля разности векторов, используя скалярное произведение: $|\vec{p} - \vec{v}_i|^2 = (\vec{p} - \vec{v}_i) \cdot (\vec{p} - \vec{v}_i) = |\vec{p}|^2 - 2(\vec{p} \cdot \vec{v}_i) + |\vec{v}_i|^2$.

Подставив известные квадраты модулей $|\vec{p}|^2 = R^2$ и $|\vec{v}_i|^2 = R^2$, получим: $|\vec{p} - \vec{v}_i|^2 = R^2 - 2(\vec{p} \cdot \vec{v}_i) + R^2 = 2R^2 - 2(\vec{p} \cdot \vec{v}_i)$.

Теперь просуммируем это выражение по всем 8 вершинам: $S = \sum_{i=1}^{8} (2R^2 - 2(\vec{p} \cdot \vec{v}_i)) = \sum_{i=1}^{8} 2R^2 - 2 \sum_{i=1}^{8} (\vec{p} \cdot \vec{v}_i) = 16R^2 - 2 (\vec{p} \cdot \sum_{i=1}^{8} \vec{v}_i)$.

Так как вершины куба расположены симметрично относительно начала координат (центра куба), сумма их радиус-векторов равна нулевому вектору: $\sum_{i=1}^{8} \vec{v}_i = \vec{0}$.

Тогда выражение для $S$ значительно упрощается: $S = 16R^2 - 2 (\vec{p} \cdot \vec{0}) = 16R^2$.

Подставим найденное ранее значение $R^2 = \frac{3a^2}{4}$: $S = 16 \cdot \frac{3a^2}{4} = 4 \cdot 3a^2 = 12a^2$.

Сумма квадратов длин всех ребер куба вычисляется просто: у куба 12 ребер, и длина каждого ребра равна $a$. Следовательно, сумма квадратов длин ребер равна $12 \cdot a^2 = 12a^2$.

Сравнивая результаты, видим, что $S = 12a^2$, что в точности равно сумме квадратов длин всех ребер. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано. Сумма квадратов расстояний от любой точки описанной сферы до вершин куба равна сумме квадратов длин всех его ребер и составляет $12a^2$, где $a$ — длина ребра куба.

Изменение утверждения для случая вписанной сферы

Рассмотрим сферу, вписанную в тот же куб с ребром $a$. Ее центр также находится в начале координат $O(0, 0, 0)$. Радиус $r$ вписанной сферы равен половине длины ребра куба, так как сфера касается центров граней куба. $r = \frac{a}{2}$, следовательно, квадрат радиуса $r^2 = \frac{a^2}{4}$.

Пусть $Q$ — произвольная точка на вписанной сфере. Обозначим ее радиус-вектор как $\vec{q}$. Для точки $Q$ выполняется условие $|\vec{q}|^2 = r^2$. Координаты и радиус-векторы вершин куба $\vec{v}_i$ остаются теми же, и для них по-прежнему $|\vec{v}_i|^2 = R^2 = \frac{3a^2}{4}$.

Найдем сумму квадратов расстояний от точки $Q$ до вершин куба, обозначив ее $S'$: $S' = \sum_{i=1}^{8} |QV_i|^2 = \sum_{i=1}^{8} |\vec{q} - \vec{v}_i|^2$.

Раскроем квадрат модуля разности векторов: $|\vec{q} - \vec{v}_i|^2 = |\vec{q}|^2 - 2(\vec{q} \cdot \vec{v}_i) + |\vec{v}_i|^2$.

Подставим значения $|\vec{q}|^2 = r^2$ и $|\vec{v}_i|^2 = R^2$: $|\vec{q} - \vec{v}_i|^2 = r^2 + R^2 - 2(\vec{q} \cdot \vec{v}_i)$.

Просуммировав по всем 8 вершинам и учитывая, что $\sum_{i=1}^{8} \vec{v}_i = \vec{0}$, получаем: $S' = \sum_{i=1}^{8} (r^2 + R^2 - 2(\vec{q} \cdot \vec{v}_i)) = 8(r^2 + R^2) - 2(\vec{q} \cdot \sum_{i=1}^{8} \vec{v}_i) = 8(r^2 + R^2)$.

Подставим значения $r^2 = \frac{a^2}{4}$ и $R^2 = \frac{3a^2}{4}$: $S' = 8 \left(\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}\right) = 8 \left(\frac{4a^2}{4}\right) = 8a^2$.

Таким образом, для точки на вписанной сфере сумма квадратов расстояний до вершин куба постоянна и равна $8a^2$. Сумма квадратов длин ребер по-прежнему составляет $12a^2$.

Следовательно, исходное утверждение изменится. Сумма квадратов расстояний не будет равна сумме квадратов длин ребер. Она будет составлять $\frac{8a^2}{12a^2} = \frac{2}{3}$ от этой величины.

Ответ: Утверждение изменится. Сумма квадратов расстояний от любой точки вписанной сферы до вершин куба будет постоянна и равна $8a^2$, что составляет две трети от суммы квадратов длин всех ребер куба.