Номер 57, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

57. Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра и площади перпендикулярного сечения призмы.

Для доказательства данного утверждения можно рассмотреть два основных подхода.

Способ 1: Использование формулы объема через высоту и площадь основания.

Объем любой призмы, в том числе наклонной, вычисляется по стандартной формуле:
$V = S_{осн} \cdot h$
где $V$ – объем, $S_{осн}$ – площадь основания призмы, а $h$ – ее высота.

Пусть $l$ – длина бокового ребра наклонной призмы, а $S_{перп}$ – площадь ее перпендикулярного сечения. Перпендикулярное сечение – это сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам призмы.

Введем угол $\alpha$ между боковым ребром и высотой призмы. Этот же угол $\alpha$ является углом между плоскостью основания (которая перпендикулярна высоте) и плоскостью перпендикулярного сечения (которая перпендикулярна боковому ребру).

Высоту призмы $h$ можно выразить через длину бокового ребра $l$ и угол $\alpha$. Из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота $h$ и проекция бокового ребра на основание, а гипотенузой — само боковое ребро $l$, следует:
$h = l \cdot \cos(\alpha)$

Площадь основания $S_{осн}$ и площадь перпендикулярного сечения $S_{перп}$ связаны через тот же угол $\alpha$. Площадь перпендикулярного сечения является ортогональной проекцией основания на плоскость этого сечения. По теореме о площади ортогональной проекции:
$S_{перп} = S_{осн} \cdot \cos(\alpha)$

Из этого соотношения выразим площадь основания:
$S_{осн} = \frac{S_{перп}}{\cos(\alpha)}$

Теперь подставим полученные выражения для $h$ и $S_{осн}$ в исходную формулу для объема призмы:
$V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{S_{перп}}{\cos(\alpha)}\right) \cdot (l \cdot \cos(\alpha))$

Сокращая $\cos(\alpha)$ в числителе и знаменателе, получаем искомое равенство:
$V = l \cdot S_{перп}$

Способ 2: Использование принципа Кавальери.

Принцип Кавальери утверждает, что если два тела имеют равные высоты и если площади их сечений плоскостями, параллельными основаниям и находящимися на равном расстоянии от них, равны, то объемы этих тел также равны.

1. Возьмем исходную наклонную призму объемом $V$, с длиной бокового ребра $l$ и площадью перпендикулярного сечения $S_{перп}$.

2. Построим для сравнения прямую призму, у которой в основании лежит многоугольник, равный перпендикулярному сечению наклонной призмы (то есть площадь ее основания равна $S_{перп}$), а высота равна длине бокового ребра $l$.

3. Объем такой прямой призмы $V_{прямая}$ равен произведению площади ее основания на высоту:
$V_{прямая} = S_{перп} \cdot l$

4. Теперь сравним объемы наклонной и прямой призм. Расположим их так, чтобы перпендикулярное сечение наклонной призмы и основание прямой призмы лежали в одной плоскости $\beta$. Тогда оба тела будут заключены между плоскостью $\beta$ и параллельной ей плоскостью, удаленной на расстояние $l$. "Высоты" обоих тел в таком расположении равны $l$.

5. Проведем секущую плоскость $\gamma$, параллельную плоскости $\beta$, на произвольном расстоянии $x$ от нее (где $0 \le x \le l$).

6. Площадь сечения прямой призмы плоскостью $\gamma$ будет равна площади ее основания, то есть $S_{перп}$.

7. Площадь сечения наклонной призмы плоскостью $\gamma$ также будет равна $S_{перп}$, так как по свойству призм все сечения, параллельные перпендикулярному сечению, равны ему.

8. Поскольку на любом "уровне" $x$ площади сечений обеих призм равны, то по принципу Кавальери их объемы равны:
$V = V_{прямая}$

9. Следовательно, объем наклонной призмы равен:
$V = l \cdot S_{перп}$

Таким образом, утверждение доказано обоими способами.

Ответ: Утверждение доказано. Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра и площади перпендикулярного сечения призмы.