Номер 537, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

537. Найдите отношение сторон прямоугольника, площадь которого составляет 75 % площади квадрата с периметром, равным периметру прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а сторона квадрата равна $c$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P_{пр} = 2(a + b)$.
Периметр квадрата вычисляется по формуле $P_{кв} = 4c$.

Согласно условию задачи, их периметры равны:$P_{пр} = P_{кв}$
$2(a + b) = 4c$
Разделив обе части на 2, получим:$a + b = 2c$

Площадь прямоугольника равна $S_{пр} = ab$.
Площадь квадрата равна $S_{кв} = c^2$.

По условию, площадь прямоугольника составляет 75% от площади квадрата. Переведем проценты в десятичную дробь: $75\% = 0.75 = \frac{3}{4}$.
$S_{пр} = 0.75 \cdot S_{кв}$
$ab = \frac{3}{4} c^2$

Мы получили систему из двух уравнений с тремя переменными:

1. $a + b = 2c$
2. $ab = \frac{3}{4} c^2$

Чтобы найти отношение $\frac{a}{b}$, нам нужно исключить переменную $c$. Выразим $c$ из первого уравнения:$c = \frac{a + b}{2}$

Теперь подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:$ab = \frac{3}{4} \left(\frac{a + b}{2}\right)^2$
$ab = \frac{3}{4} \frac{(a + b)^2}{4}$
$ab = \frac{3}{16} (a + b)^2$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:$16ab = 3(a^2 + 2ab + b^2)$
$16ab = 3a^2 + 6ab + 3b^2$
$3a^2 + 6ab - 16ab + 3b^2 = 0$
$3a^2 - 10ab + 3b^2 = 0$

Это однородное квадратное уравнение. Чтобы найти искомое отношение сторон, разделим обе части уравнения на $b^2$ (это возможно, так как $b \neq 0$):$3\frac{a^2}{b^2} - 10\frac{ab}{b^2} + 3\frac{b^2}{b^2} = 0$
$3\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 10\left(\frac{a}{b}\right) + 3 = 0$

Введем замену $x = \frac{a}{b}$. Уравнение примет вид:$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни уравнения:$x_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$x_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Таким образом, отношение сторон прямоугольника может быть равно 3 (отношение большей стороны к меньшей) или $\frac{1}{3}$ (отношение меньшей стороны к большей).

Ответ: 3 или $\frac{1}{3}$.