Номер 516, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

516*. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 2 м, а сторона основания — 3 м. Найдите:

a) диаметр описанного шара;

б) угол, под которым видно из центра боковое ребро.

Пусть $h$ — боковое ребро (высота) правильной треугольной призмы, а $a$ — сторона основания. По условию, $h = 2$ м и $a = 3$ м.

а) диаметр описанного шара;

Для нахождения диаметра описанного шара, сперва найдем его радиус $R$. Центр описанного шара $O$ для правильной призмы находится на середине высоты, проведенной между центрами оснований. Радиус шара $R$ связан с радиусом окружности, описанной около основания ($R_{осн}$), и половиной высоты призмы ($\frac{h}{2}$) по теореме Пифагора.

1. Найдем радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около основания. Основанием является правильный треугольник со стороной $a = 3$ м. Формула для радиуса описанной окружности правильного треугольника: $R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ Подставляя значение $a$, получаем: $R_{осн} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ м.

2. Теперь найдем радиус описанного шара $R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются $R_{осн}$ и половина высоты призмы $\frac{h}{2}$, а гипотенузой — радиус шара $R$. $R^2 = R_{осн}^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$ Высота призмы $h = 2$ м, следовательно, $\frac{h}{2} = \frac{2}{2} = 1$ м. Подставляем найденные значения в формулу: $R^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$ Отсюда радиус шара $R = \sqrt{4} = 2$ м.

3. Диаметр шара $D$ равен двум радиусам: $D = 2R = 2 \cdot 2 = 4$ м.

Ответ: 4 м.

б) угол, под которым видно из центра боковое ребро.

Пусть $O$ — центр описанного шара, а $A$ и $A_1$ — вершины одного бокового ребра. Угол, под которым видно боковое ребро из центра шара, это угол $\angle AOA_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOA_1$. Стороны $OA$ и $OA_1$ являются радиусами описанного шара, так как точки $A$ и $A_1$ лежат на поверхности шара. Из пункта а) мы знаем, что радиус шара $R = 2$ м. Значит, $OA = OA_1 = 2$ м.

Третья сторона треугольника, $AA_1$, — это боковое ребро призмы, длина которого по условию задачи равна $h = 2$ м.

Таким образом, все стороны треугольника $\triangle AOA_1$ равны между собой: $OA = OA_1 = AA_1 = 2$ м. Следовательно, треугольник $\triangle AOA_1$ является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Поэтому искомый угол $\angle AOA_1$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.