Номер 480, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

480. От точки $F$ пересечения прямых на одной из них отмечены такие точки $A_1$ и $A_2$, а на другой — такие точки $B_1$ и $B_2$, что $FA_1 \cdot FA_2 = FB_1 \cdot FB_2$, при этом точки отмечались на обеих прямых по одну сторону (рис. 321) или на обеих прямых по разные стороны от точки $F$ (рис. 322). Докажите, что точки $A_1$, $A_2$, $B_1$ и $B_2$ лежат на одной окружности.

Рис. 321

Рис. 322

Данная задача является обратной к теореме о степени точки относительно окружности (в частности, к теореме о пересекающихся секущих и теореме о пересекающихся хордах). Мы докажем, что если выполняется данное равенство, то четыре точки лежат на одной окружности. Для этого рассмотрим два случая, представленные на рисунках.

Случай 1: Точки $A_1, A_2$ и $B_1, B_2$ расположены по одну сторону от точки F (рис. 321)

Рассмотрим три точки: $A_1, A_2$ и $B_1$. Поскольку они не лежат на одной прямой, через них можно провести единственную окружность. Прямая, проходящая через точки $F, B_1, B_2$, пересекает эту окружность в точке $B_1$. Пусть вторая точка пересечения этой прямой с окружностью будет $B_2'$.

Точка $F$ является точкой пересечения двух секущих ($FA_2$ и $FB_2'$) к построенной окружности. По теореме о пересекающихся секущих, произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей:

$FA_1 \cdot FA_2 = FB_1 \cdot FB_2'$

По условию задачи нам дано, что:

$FA_1 \cdot FA_2 = FB_1 \cdot FB_2$

Сравнивая правые части этих двух равенств, получаем: $FB_1 \cdot FB_2' = FB_1 \cdot FB_2$. Поскольку точки $F$ и $B_1$ различны, длина отрезка $FB_1$ не равна нулю, и мы можем разделить обе части равенства на $FB_1$. В результате получаем $FB_2' = FB_2$.

В рассматриваемом случае точки $B_1$ и $B_2$ лежат по одну сторону от точки $F$. Поскольку $F$ является внешней точкой по отношению к окружности, точки пересечения $B_1$ и $B_2'$ также лежат по одну сторону от $F$. Так как точки $B_2$ и $B_2'$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $F$ и лежат на одном и том же луче, исходящем из точки $F$, их положения должны совпадать, то есть $B_2 = B_2'$.

Это доказывает, что точка $B_2$ лежит на окружности, проходящей через точки $A_1, A_2$ и $B_1$. Следовательно, все четыре точки $A_1, A_2, B_1, B_2$ лежат на одной окружности.

Ответ: Точки $A_1, A_2, B_1, B_2$ лежат на одной окружности.

Случай 2: Точки $A_1, A_2$ и $B_1, B_2$ расположены по разные стороны от точки F (рис. 322)

Действуем аналогично первому случаю. Рассмотрим окружность, проходящую через три не коллинеарные точки $A_1, A_2$ и $B_1$. Эта окружность пересекает прямую, проходящую через точки $F, B_1, B_2$, в точке $B_1$ и еще одной точке, которую мы обозначим $B_2'$.

В этом случае точка $F$ является точкой пересечения двух хорд окружности: $A_1A_2$ и $B_1B_2'$. По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой:

$FA_1 \cdot FA_2 = FB_1 \cdot FB_2'$

По условию задачи нам дано, что:

$FA_1 \cdot FA_2 = FB_1 \cdot FB_2$

Из этих двух равенств следует, что $FB_1 \cdot FB_2' = FB_1 \cdot FB_2$. Сократив на $FB_1$ (так как $FB_1 \ne 0$), мы получаем $FB_2' = FB_2$.

В данном случае точки $A_1$ и $A_2$ лежат по разные стороны от $F$, следовательно, точка $F$ находится внутри окружности, проведенной через $A_1, A_2, B_1$. Это означает, что $F$ также лежит между точками пересечения $B_1$ и $B_2'$ на хорде $B_1B_2'$. По условию задачи, точка $B_2$ также находится на прямой $FB_1$ по другую сторону от $F$ относительно точки $B_1$. Поскольку расстояния $FB_2$ и $FB_2'$ равны и точки $B_2$, $B_2'$ лежат на одной прямой по одну сторону от $B_1$ (на противоположной стороне от $F$), их положения должны совпадать: $B_2 = B_2'$.

Таким образом, точка $B_2$ лежит на той же окружности, что и точки $A_1, A_2, B_1$. Следовательно, все четыре точки $A_1, A_2, B_1, B_2$ лежат на одной окружности.

Ответ: Точки $A_1, A_2, B_1, B_2$ лежат на одной окружности.