Номер 379, страница 117 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

379. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма количества граней и вершин на 2 больше количества ребер (теорема Эйлера).

Докажем теорему Эйлера для выпуклых многогранников. Обозначим количество вершин многогранника через $В$, количество ребер — через $Р$, а количество граней — через $Г$. Нам необходимо доказать, что выполняется равенство:$В + Г = Р + 2$, или, что то же самое, $В - Р + Г = 2$.

Для доказательства используем метод проекции. Возьмем произвольный выпуклый многогранник. Мысленно удалим одну из его граней. Оставшуюся "открытую" поверхность многогранника можно "растянуть" и спроецировать на плоскость так, чтобы ни одно ребро не пересекалось с другим (кроме как в вершинах). В результате мы получим связный плоский граф — сеть из вершин и ребер, расположенных на плоскости.

• Вершины многогранника станут вершинами этого графа. Их количество останется прежним: $В$.
• Ребра многогранника станут ребрами (линиями) графа. Их количество тоже не изменится: $Р$.
• Грани многогранника (кроме одной удаленной) превратятся в ограниченные области (многоугольники) на плоскости. Удаленная грань будет соответствовать внешней, неограниченной области вокруг графа. Таким образом, общее число областей (включая внешнюю), на которые граф делит плоскость, будет равно числу граней исходного многогранника: $Г$.

Теперь задача сводится к доказательству того, что для любого связного плоского графа выполняется соотношение $В - Р + Г = 2$. Докажем это, последовательно строя граф и отслеживая, как меняется значение выражения $В - Р + Г$.

Построение графа и доказательство

Начнем с самого простого графа — одной вершины. Для него: $В = 1$ (одна вершина), $Р = 0$ (ребер нет), $Г = 1$ (одна область — вся плоскость). Подставим эти значения в формулу: $В - Р + Г = 1 - 0 + 1 = 2$. Изначально соотношение верно.

Любой связный плоский граф можно построить, начиная с одной вершины и последовательно добавляя новые элементы одним из двух способов, сохраняя связность:

1. Добавление ребра и новой вершины. Мы добавляем новое ребро, которое соединяет одну из существующих вершин с новой, ранее не существовавшей вершиной. При этом:

• Количество вершин увеличивается на 1 ($В \rightarrow В + 1$).
• Количество ребер увеличивается на 1 ($Р \rightarrow Р + 1$).
• Количество областей не меняется ($Г \rightarrow Г$).

Проверим, как изменилось выражение $В - Р + Г$: $(В + 1) - (Р + 1) + Г = В + 1 - Р - 1 + Г = В - Р + Г$. Значение выражения не изменилось.

2. Добавление ребра между двумя существующими вершинами. Мы проводим новое ребро между двумя вершинами, которые уже есть в графе. Поскольку граф плоский (ребра не пересекаются), это новое ребро обязательно разделит одну из существующих областей на две. При этом:

• Количество вершин не меняется ($В \rightarrow В$).
• Количество ребер увеличивается на 1 ($Р \rightarrow Р + 1$).
• Количество областей увеличивается на 1 ($Г \rightarrow Г + 1$).

Проверим, как изменилось выражение $В - Р + Г$: $В - (Р + 1) + (Г + 1) = В - Р - 1 + Г + 1 = В - Р + Г$. Значение выражения снова не изменилось.

Заключение

Мы начали с простейшего графа, для которого выражение $В - Р + Г$ равнялось 2. Любой более сложный граф, соответствующий многограннику, может быть получен путем многократного применения описанных операций. Поскольку ни одна из этих операций не меняет значения выражения $В - Р + Г$, для любого связного плоского графа это значение будет оставаться равным 2.

Так как наш многогранник был представлен в виде такого графа, где $В$ — число вершин, $Р$ — число ребер, и $Г$ — число граней, то для него также выполняется соотношение $В - Р + Г = 2$. Переписав его в виде $В + Г = Р + 2$, мы получаем утверждение, которое требовалось доказать: сумма количества граней и вершин на 2 больше количества ребер.

Ответ: Доказательство теоремы Эйлера ($В + Г = Р + 2$) для выпуклого многогранника проводится методом проекции его поверхности на плоскость. Эта проекция создает плоский связный граф, для которого число вершин $В$ и ребер $Р$ совпадает с многогранником, а число граней многогранника $Г$ равно числу областей (включая внешнюю) в графе. Справедливость формулы $В - Р + Г = 2$ для графа доказывается методом математической индукции (или пошагового построения). Начинаем с одной вершины ($В=1, Р=0, Г=1$), для которой $1-0+1=2$. Далее показывается, что при добавлении в граф нового элемента (либо вершины с ребром, либо ребра между существующими вершинами) значение выражения $В - Р + Г$ не меняется. Следовательно, формула верна для любого связного плоского графа и, соответственно, для любого выпуклого многогранника.