Номер 342, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

342*. Шар касается всех ребер треугольной пирамиды. Найдите его радиус, учитывая, что все ребра пирамиды равны $a$.

Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны a, данная пирамида является правильным тетраэдром. Обозначим его вершины A, B, C, D. Все грани тетраэдра являются равносторонними треугольниками со стороной a.

Шар, который касается всех ребер тетраэдра, в силу симметрии правильного тетраэдра, имеет свой центр O в центре тетраэдра. Радиус r этого шара равен расстоянию от центра O до любого из шести ребер.

Рассмотрим пару скрещивающихся (противоположных) ребер, например, AB и CD. Пусть M — середина ребра AB, а N — середина ребра CD. Отрезок MN, соединяющий середины этих ребер, является их общим перпендикуляром. Это означает, что $MN \perp AB$ и $MN \perp CD$.

Для нахождения длины MN рассмотрим треугольник ANB. Отрезки AN и BN являются высотами (а также медианами) в равносторонних треугольниках-гранях ADC и BDC соответственно. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной a вычисляется как $h = a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $AN = BN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Треугольник ANB является равнобедренным. Отрезок MN в нем — медиана, проведенная к основанию AB, а значит, и высота. Следовательно, треугольник AMN является прямоугольным ($\angle AMN = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $AM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$, а гипотенуза $AN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. По теореме Пифагора найдем длину катета MN:

$MN^2 = AN^2 - AM^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Отсюда, длина общего перпендикуляра: $MN = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Центр тетраэдра O является точкой пересечения и серединой всех трех отрезков, соединяющих середины противоположных ребер. Следовательно, O является серединой отрезка MN.

Радиус r искомого шара равен расстоянию от его центра O до любого ребра. Расстояние от O до ребра AB — это длина отрезка OM (так как O лежит на перпендикуляре MN к AB, а M - точка на ребре). Поскольку O — середина MN, то:

$r = OM = \frac{1}{2} MN$

Подставляя найденное значение MN, получаем искомый радиус:

$r = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{4}$.