Номер 280, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

280*. Найдите поверхность сферического купола, у которого:

а) радиус основания равен $r$, а дуга осевого сечения — $90^\circ$;

б) радиус основания равен $r$, а дуга осевого сечения — $60^\circ$;

в) высота равна $h$, а дуга осевого сечения — $120^\circ$.

Площадь поверхности сферического купола (также известного как сферический сегмент) находится по формуле $S = 2 \pi R h$, где $R$ — это радиус сферы, из которой вырезан купол, а $h$ — высота купола.

Осевое сечение купола представляет собой сегмент круга, радиус которого равен радиусу сферы $R$. Дуга этого сечения, данная в условии в градусах, соответствует центральному углу, опирающемуся на хорду, которая является диаметром основания купола. Обозначим этот центральный угол как $2\alpha$.

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом основания купола $r$ (катет) и расстоянием от центра сферы до плоскости основания купола (второй катет, равный $R-h$). Угол в этом треугольнике, противолежащий катету $r$, равен $\alpha$. Из этого треугольника следуют соотношения:

• $r = R \sin \alpha$
• $h = R - R \cos \alpha = R(1 - \cos \alpha)$

По условию, дуга осевого сечения равна $90^\circ$. Следовательно, центральный угол $2\alpha = 90^\circ$, откуда $\alpha = 45^\circ$. Радиус основания купола равен $r$.

Сначала выразим радиус сферы $R$ через радиус основания $r$:

$r = R \sin 45^\circ = R \frac{\sqrt{2}}{2}$

Из этого уравнения находим $R$:

$R = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$.

Теперь найдем высоту купола $h$:

$h = R(1 - \cos 45^\circ) = r\sqrt{2} \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = r\sqrt{2} - \frac{r\sqrt{2}\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2} - r$.

Подставляем найденные $R$ и $h$ в формулу для площади поверхности купола:

$S = 2 \pi R h = 2 \pi (r\sqrt{2})(r\sqrt{2} - r) = 2 \pi r^2 \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) = 2 \pi r^2 (2 - \sqrt{2})$.

Ответ: $S = 2 \pi r^2 (2 - \sqrt{2})$.

По условию, дуга осевого сечения равна $60^\circ$. Следовательно, центральный угол $2\alpha = 60^\circ$, откуда $\alpha = 30^\circ$. Радиус основания купола равен $r$.

Выразим радиус сферы $R$ через $r$:

$r = R \sin 30^\circ = R \cdot \frac{1}{2}$

Отсюда $R = 2r$.

Найдем высоту купола $h$:

$h = R(1 - \cos 30^\circ) = 2r\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = r(2 - \sqrt{3})$.

Вычислим площадь поверхности купола:

$S = 2 \pi R h = 2 \pi (2r)(r(2 - \sqrt{3})) = 4 \pi r^2 (2 - \sqrt{3})$.

Ответ: $S = 4 \pi r^2 (2 - \sqrt{3})$.

По условию, высота купола равна $h$, а дуга осевого сечения — $120^\circ$.

Центральный угол $2\alpha = 120^\circ$, следовательно, $\alpha = 60^\circ$.

Используем соотношение, связывающее $h$, $R$ и $\alpha$, чтобы выразить $R$ через $h$:

$h = R(1 - \cos 60^\circ) = R\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{R}{2}$

Отсюда находим радиус сферы $R$:

$R = 2h$.

Теперь, зная $R$ и $h$, можем вычислить площадь поверхности купола:

$S = 2 \pi R h = 2 \pi (2h)h = 4 \pi h^2$.

Ответ: $S = 4 \pi h^2$.