Номер 269, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

269. Докажите, что:

a) поверхности сфер пропорциональны квадратам их радиусов;

б) полная поверхность цилиндра, полученного при вращении квадрата вокруг прямой, содержит одну из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата;

в) площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник с высотой, равной диаметру сферы.

а)

Докажем, что поверхности сфер пропорциональны квадратам их радиусов.

Пусть у нас есть две сферы. Обозначим радиус первой сферы как $R_1$, а площадь ее поверхности как $S_1$. Радиус второй сферы обозначим как $R_2$, а площадь ее поверхности как $S_2$.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ — радиус сферы.

Тогда для наших двух сфер мы можем записать:
$S_1 = 4\pi R_1^2$
$S_2 = 4\pi R_2^2$

Чтобы доказать пропорциональность, нам нужно показать, что отношение площадей поверхностей равно отношению квадратов их радиусов. Составим это отношение:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2}$

Сократив общий множитель $4\pi$ в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$

Это равенство показывает, что площади поверхностей сфер относятся друг к другу как квадраты их радиусов. Это и есть определение прямой пропорциональности, где $S = k \cdot R^2$ с коэффициентом пропорциональности $k = 4\pi$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Докажем, что полная поверхность цилиндра, полученного при вращении квадрата вокруг одной из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата.

Пусть сторона квадрата равна $a$.

Когда квадрат вращается вокруг одной из своих сторон, образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ будет равна стороне квадрата $a$, и радиус основания цилиндра $r$ также будет равен стороне квадрата $a$.
$h = a$
$r = a$

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{цил}$) — это сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух оснований ($2 \cdot S_{осн}$).
$S_{цил} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Вычислим каждую из этих площадей:
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi a \cdot a = 2\pi a^2$.
Площадь одного основания: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi a^2$.

Теперь найдем полную поверхность цилиндра:
$S_{цил} = 2\pi a^2 + 2(\pi a^2) = 4\pi a^2$.

Далее рассмотрим сферу, радиус которой $R$ по условию равен стороне квадрата: $R = a$.

Площадь поверхности этой сферы ($S_{сф}$) вычисляется по формуле:
$S_{сф} = 4\pi R^2 = 4\pi a^2$.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что $S_{цил} = 4\pi a^2$ и $S_{сф} = 4\pi a^2$. Следовательно, площади равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Докажем, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник с высотой, равной диаметру сферы.

Пусть радиус сферы равен $R$. Тогда ее диаметр $D = 2R$, а площадь ее поверхности $S_{сф} = 4\pi R^2$.

Рассмотрим конус. Его осевое сечение — равносторонний треугольник. Обозначим сторону этого треугольника как $l$. Эта сторона является образующей конуса, то есть $l_к = l$. Высота конуса $h_к$ — это высота этого треугольника, а радиус основания конуса $r_к$ — это половина основания треугольника, то есть $r_к = l/2$.

По условию задачи, высота конуса равна диаметру сферы:
$h_к = D = 2R$.

Высота равностороннего треугольника со стороной $l$ выражается формулой $h = \frac{l\sqrt{3}}{2}$. Применительно к нашему конусу:
$h_к = \frac{l_к\sqrt{3}}{2}$.

Приравняем два выражения для $h_к$ и найдем образующую $l_к$ через радиус сферы $R$:
$\frac{l_к\sqrt{3}}{2} = 2R \implies l_к = \frac{4R}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем радиус основания конуса $r_к$:
$r_к = \frac{l_к}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4R}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Площадь полной поверхности конуса ($S_к$) равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):
$S_к = S_{осн} + S_{бок} = \pi r_к^2 + \pi r_к l_к$.

Подставим выражения для $r_к$ и $l_к$ в формулу:
$S_к = \pi \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 + \pi \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right) = \pi \frac{4R^2}{3} + \pi \frac{8R^2}{3} = \frac{12\pi R^2}{3} = 4\pi R^2$.

Мы получили, что площадь полной поверхности конуса $S_к = 4\pi R^2$. Сравнивая это с площадью поверхности сферы $S_{сф} = 4\pi R^2$, видим, что они равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.