Номер 218, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

218. Найдите объем конуса, учитывая, что его:

а) высота равна $H$ и равна диаметру его основания;

б) образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения — $60 \text{ см}^2$;

в) образующая равна $l$, а боковая поверхность — $P$;

г) площадь его основания равна $Q$, а боковая поверхность — $P$.

а)

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота конуса.

По условию, высота конуса $H$ равна диаметру его основания $D$. Диаметр связан с радиусом соотношением $D = 2R$.

Следовательно, $H = D = 2R$. Отсюда можно выразить радиус основания через высоту: $R = \frac{H}{2}$.

Подставим это выражение для радиуса в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{H}{2}\right)^2 H = \frac{1}{3} \pi \frac{H^2}{4} H = \frac{1}{12} \pi H^3$.

Ответ: $V = \frac{1}{12} \pi H^3$.

б)

Дано: образующая $l = 13$ см, площадь осевого сечения $S_{сеч} = 60$ см².

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей $l$, а основание — диаметру основания конуса $D = 2R$. Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$.

Площадь осевого сечения вычисляется по формуле $S_{сеч} = \frac{1}{2} D H = \frac{1}{2} (2R) H = RH$.

Из условия имеем $RH = 60$.

Радиус $R$, высота $H$ и образующая $l$ связаны теоремой Пифагора: $l^2 = R^2 + H^2$.

Подставляя данное значение $l=13$, получаем $13^2 = R^2 + H^2$, то есть $169 = R^2 + H^2$.

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} RH = 60 \\ R^2 + H^2 = 169 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $R = \frac{60}{H}$ и подставим во второе:

$\left(\frac{60}{H}\right)^2 + H^2 = 169$

$\frac{3600}{H^2} + H^2 = 169$

$H^4 - 169H^2 + 3600 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $H$. Сделаем замену $x = H^2$ ($x > 0$):

$x^2 - 169x + 3600 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 25$ и $x_2 = 144$.

Следовательно, $H^2 = 25$ или $H^2 = 144$.

Возможные значения для высоты: $H_1 = 5$ см и $H_2 = 12$ см.

Найдем соответствующие значения радиуса:

Если $H_1 = 5$ см, то $R_1 = \frac{60}{5} = 12$ см.

Если $H_2 = 12$ см, то $R_2 = \frac{60}{12} = 5$ см.

Оба набора значений удовлетворяют условиям. Найдем объем конуса для каждого случая по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Случай 1: $R_1 = 12$ см, $H_1 = 5$ см.

$V_1 = \frac{1}{3} \pi (12^2) \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 5 = 240\pi$ см³.

Случай 2: $R_2 = 5$ см, $H_2 = 12$ см.

$V_2 = \frac{1}{3} \pi (5^2) \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ см³.

Ответ: $240\pi$ см³ или $100\pi$ см³.

в)

Дано: образующая равна $l$, площадь боковой поверхности равна $P$.

Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R l$. По условию $S_{бок} = P$, следовательно, $P = \pi R l$.

Отсюда выразим радиус основания: $R = \frac{P}{\pi l}$.

Высота конуса $H$ связана с радиусом $R$ и образующей $l$ соотношением $l^2 = R^2 + H^2$.

Выразим высоту: $H = \sqrt{l^2 - R^2}$.

Подставим выражение для $R$:

$H = \sqrt{l^2 - \left(\frac{P}{\pi l}\right)^2} = \sqrt{l^2 - \frac{P^2}{\pi^2 l^2}} = \sqrt{\frac{\pi^2 l^4 - P^2}{\pi^2 l^2}} = \frac{\sqrt{\pi^2 l^4 - P^2}}{\pi l}$.

Теперь подставим выражения для $R$ и $H$ в формулу объема конуса $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{P}{\pi l}\right)^2 \frac{\sqrt{\pi^2 l^4 - P^2}}{\pi l} = \frac{1}{3} \pi \frac{P^2}{\pi^2 l^2} \frac{\sqrt{\pi^2 l^4 - P^2}}{\pi l} = \frac{\pi P^2 \sqrt{\pi^2 l^4 - P^2}}{3 \pi^3 l^3} = \frac{P^2 \sqrt{\pi^2 l^4 - P^2}}{3 \pi^2 l^3}$.

Ответ: $V = \frac{P^2 \sqrt{\pi^2 l^4 - P^2}}{3 \pi^2 l^3}$.

г)

Дано: площадь основания равна $Q$, площадь боковой поверхности равна $P$.

Формула объема конуса: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$. По условию, $S_{осн} = Q$, значит $V = \frac{1}{3} Q H$.

Площадь основания конуса (круга) равна $S_{осн} = \pi R^2$. Так как $S_{осн} = Q$, то $Q = \pi R^2$, откуда $R = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \pi R l$. По условию $S_{бок} = P$, значит $P = \pi R l$.

Отсюда выразим образующую: $l = \frac{P}{\pi R}$.

Подставим в это выражение $R = \sqrt{\frac{Q}{\pi}}$:

$l = \frac{P}{\pi \sqrt{\frac{Q}{\pi}}} = \frac{P}{\sqrt{\pi^2} \frac{\sqrt{Q}}{\sqrt{\pi}}} = \frac{P}{\sqrt{\pi} \sqrt{Q}} = \frac{P}{\sqrt{\pi Q}}$.

Найдем высоту $H$ из соотношения $H^2 = l^2 - R^2$:

$H^2 = \left(\frac{P}{\sqrt{\pi Q}}\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{Q}{\pi}}\right)^2 = \frac{P^2}{\pi Q} - \frac{Q}{\pi} = \frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}$.

Следовательно, $H = \sqrt{\frac{P^2 - Q^2}{\pi Q}} = \frac{\sqrt{P^2 - Q^2}}{\sqrt{\pi Q}}$.

Подставим найденную высоту в формулу объема $V = \frac{1}{3} Q H$:

$V = \frac{1}{3} Q \frac{\sqrt{P^2 - Q^2}}{\sqrt{\pi Q}} = \frac{Q \sqrt{P^2 - Q^2}}{3 \sqrt{\pi Q}} = \frac{\sqrt{Q^2} \sqrt{P^2 - Q^2}}{3 \sqrt{\pi} \sqrt{Q}} = \frac{\sqrt{Q} \sqrt{P^2 - Q^2}}{3 \sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{Q(P^2 - Q^2)}}{3\sqrt{\pi}}$.

Ответ: $V = \frac{\sqrt{Q(P^2 - Q^2)}}{3\sqrt{\pi}}$.