Номер 209, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

209. Через середину высоты конуса, боковая поверхность которого равна $80 \, см^2$, проведена плоскость, перпендикулярная высоте. Найдите боковую поверхность образовавшегося усеченного конуса.

Пусть $S_{бок}$ – боковая поверхность исходного конуса, $R$ – радиус его основания, $L$ – его образующая. По условию, $S_{бок} = \pi R L = 80 \text{ см}^2$.

Плоскость, проведенная через середину высоты конуса и перпендикулярная ей, отсекает от исходного конуса меньший конус, подобный исходному. Обозначим параметры малого конуса: $h_{мал}$ – высота, $r$ – радиус основания, $l$ – образующая, $S_{бок.мал}$ – площадь боковой поверхности.

Так как секущая плоскость проходит через середину высоты $H$ исходного конуса, высота малого конуса составляет половину высоты большого: $h_{мал} = \frac{1}{2}H$.

Коэффициент подобия $k$ малого конуса к большому равен отношению их линейных размеров (например, высот):

$k = \frac{h_{мал}}{H} = \frac{l}{L} = \frac{r}{R} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей боковых поверхностей подобных тел равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{бок.мал}}{S_{бок}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда можем найти площадь боковой поверхности малого (отсеченного) конуса:

$S_{бок.мал} = S_{бок} \cdot \frac{1}{4} = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20 \text{ см}^2$

Боковая поверхность усеченного конуса $S_{усеч}$ равна разности площадей боковых поверхностей исходного конуса и отсеченного малого конуса:

$S_{усеч} = S_{бок} - S_{бок.мал} = 80 - 20 = 60 \text{ см}^2$

Ответ: 60 см².