Номер 174, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

174. Найдите объем треугольной пирамиды $QABC$, учитывая, что:

а) $AB = 12, BC = CA = 10$ см и двугранные углы при основании равны $45^\circ$;

б) $\angle CAB = 90^\circ, BC = c, \angle ABC = \varphi$ и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $\alpha$;

в) боковые ребра попарно перпендикулярны и имеют длины $a, b$ и $c$.

a) Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.
Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB=12$ см, $BC=CA=10$ см.
Поскольку все двугранные углы при основании равны $45^\circ$, вершина пирамиды $Q$ проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Высота пирамиды $H$ в этом случае связана с радиусом вписанной окружности $r$ соотношением $H = r \cdot \tan(45^\circ) = r \cdot 1 = r$.
Найдем площадь основания. Полупериметр треугольника $ABC$ равен $p = \frac{12+10+10}{2} = 16$ см.
По формуле Герона площадь основания равна:
$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)} = \sqrt{16(16-12)(16-10)(16-10)} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6} = 4 \cdot 2 \cdot 6 = 48$ см$^2$.
Радиус вписанной окружности равен $r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.
Следовательно, высота пирамиды $H = r = 3$ см.
Теперь найдем объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} H = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 3 = 48$ см$^3$.
Ответ: $48 \text{ см}^3$.

б) Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle CAB = 90^\circ$).
Поскольку каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha$, вершина пирамиды $Q$ проецируется в центр описанной около основания окружности (циркумцентр). Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Гипотенуза $BC=c$. Радиус описанной окружности $R = \frac{BC}{2} = \frac{c}{2}$.
Высота пирамиды $H$ связана с радиусом описанной окружности $R$ и углом $\alpha$ соотношением $H = R \tan \alpha = \frac{c}{2} \tan \alpha$.
Найдем площадь основания. Из треугольника $ABC$:
$AB = BC \cos(\angle ABC) = c \cos \phi$
$AC = BC \sin(\angle ABC) = c \sin \phi$
Площадь основания $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} (c \cos \phi)(c \sin \phi) = \frac{1}{2}c^2 \sin \phi \cos \phi = \frac{1}{4}c^2 \sin(2\phi)$.
Теперь найдем объем пирамиды:
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{4}c^2 \sin(2\phi)\right) \cdot \left(\frac{c}{2} \tan \alpha\right) = \frac{1}{24}c^3 \sin(2\phi) \tan \alpha$.
Ответ: $\frac{1}{24} c^3 \sin(2\phi) \tan \alpha$.

в) Пусть вершина пирамиды $Q$ является началом координат в трехмерной системе координат. Поскольку боковые ребра $QA$, $QB$, $QC$ попарно перпендикулярны, мы можем расположить их вдоль осей координат. Пусть их длины равны $QA=a$, $QB=b$, $QC=c$.
Тогда вершины имеют координаты: $Q(0,0,0)$, $A(a,0,0)$, $B(0,b,0)$, $C(0,0,c)$.
В этом случае пирамиду $QABC$ можно рассматривать как пирамиду с основанием, лежащим в одной из координатных плоскостей. Например, выберем в качестве основания треугольник $QAB$.
Треугольник $QAB$ является прямоугольным, так как ребра $QA$ и $QB$ перпендикулярны. Его площадь равна:
$S_{QAB} = \frac{1}{2} QA \cdot QB = \frac{1}{2}ab$.
Ребро $QC$ перпендикулярно плоскости $xy$, в которой лежит основание $QAB$. Следовательно, длина ребра $QC$ является высотой пирамиды $H$ относительно этого основания.
$H = QC = c$.
Объем пирамиды равен:
$V = \frac{1}{3} S_{QAB} H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}ab\right) \cdot c = \frac{1}{6}abc$.
Ответ: $\frac{1}{6}abc$.