Номер 128, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

128. Установите, сколько вершин, ребер и граней имеет:

а) n-угольная пирамида;

б) усеченная $n$-угольная пирамида.

a) n-угольная пирамида

Рассмотрим n-угольную пирамиду. Это многогранник, основанием которого является n-угольник, а боковые грани — треугольники, имеющие общую вершину (апекс).

• Вершины: В основании пирамиды лежит n-угольник, который имеет $n$ вершин. Также есть одна вершина сверху (апекс), куда сходятся все боковые ребра. Таким образом, общее число вершин равно сумме вершин основания и апекса.
  Количество вершин: $n + 1$.
• Ребра: Основание пирамиды, являясь n-угольником, имеет $n$ сторон, которые являются ребрами пирамиды. От каждой из $n$ вершин основания к апексу идет по одному боковому ребру. Таким образом, общее число ребер равно сумме ребер основания и боковых ребер.
  Количество ребер: $n + n = 2n$.
• Грани: Пирамида имеет одну грань в основании (n-угольник). Боковая поверхность состоит из $n$ треугольных граней, каждая из которых образована стороной основания и двумя боковыми ребрами, сходящимися в апексе. Таким образом, общее число граней равно сумме основания и боковых граней.
  Количество граней: $1 + n$.

Ответ: $n+1$ вершин, $2n$ ребер и $n+1$ граней.

б) усеченная n-угольная пирамида

Рассмотрим усеченную n-угольную пирамиду. Это многогранник, который образуется при пересечении пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию, и отсечении верхней части. Усеченная пирамида имеет два основания (нижнее и верхнее), которые являются подобными n-угольниками, а боковые грани имеют форму трапеций.

• Вершины: У усеченной пирамиды есть два основания. Нижнее основание (n-угольник) имеет $n$ вершин, и верхнее основание (также n-угольник) имеет $n$ вершин.
  Количество вершин: $n + n = 2n$.
• Ребра: Нижнее основание имеет $n$ ребер, и верхнее основание также имеет $n$ ребер. Кроме того, $n$ боковых ребер соединяют соответствующие вершины нижнего и верхнего оснований.
  Количество ребер: $n + n + n = 3n$.
• Грани: Усеченная пирамида имеет два основания (нижнее и верхнее). Боковая поверхность состоит из $n$ граней, которые являются трапециями.
  Количество граней: $2 + n$.

Ответ: $2n$ вершин, $3n$ ребер и $n+2$ граней.