Номер 167, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

167. Начертите параллелепипед $EFGHE_1F_1G_1H_1$ и постройте его сечение плоскостью, которое проходит через точки $F_1, H_1$ и середину ребра $GH$. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Построение сечения

1. Начертим параллелепипед $EFGHE_1F_1G_1H_1$. Обозначим заданные точки: $F_1$, $H_1$ и $M$ — середина ребра $GH$.
   
2. Точки $F_1$ и $H_1$ лежат в одной плоскости верхней грани $E_1F_1G_1H_1$. Соединяем их и получаем отрезок $F_1H_1$ — одну из сторон искомого сечения.
3. Точки $H_1$ и $M$ лежат в одной плоскости задней грани $HGG_1H_1$. Соединяем их и получаем отрезок $H_1M$ — вторую сторону сечения.
4. Плоскость сечения, назовем ее $\alpha$, определяется тремя точками $F_1$, $H_1$ и $M$. Плоскости оснований параллелепипеда $(EFGH)$ и $(E_1F_1G_1H_1)$ параллельны. По свойству, секущая плоскость $\alpha$ пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.
5. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с верхней гранью — это прямая $F_1H_1$. Следовательно, линия пересечения $\alpha$ с нижней гранью должна проходить через точку $M$ и быть параллельной прямой $F_1H_1$.
6. Так как $E_1F_1G_1H_1$ и $EFGH$ — равные и параллельные параллелограммы, то диагональ $F_1H_1$ параллельна и равна диагонали $FH$. Значит, искомая линия пересечения в плоскости нижнего основания должна проходить через точку $M$ параллельно диагонали $FH$.
7. Проведем в плоскости $(EFGH)$ через точку $M$ прямую, параллельную $FH$. Эта прямая пересечет ребро $FG$. Обозначим точку пересечения $K$.
8. В треугольнике $\triangle FGH$ прямая $MK$ проходит через середину стороны $GH$ (точку $M$) и параллельна стороне $FH$. По теореме Фалеса, эта прямая пересекает сторону $FG$ в ее середине. Таким образом, точка $K$ — середина ребра $FG$.
9. Точки $K$ и $F_1$ лежат в одной плоскости правой грани $FGG_1F_1$. Соединяем их и получаем отрезок $KF_1$.
10. В результате последовательного соединения точек $F_1, H_1, M, K$ получаем четырехугольник $F_1H_1MK$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник $F_1H_1MK$, где $M$ — середина ребра $GH$, а $K$ — середина ребра $FG$.

Доказательство, что построенное сечение — трапеция

Чтобы доказать, что четырехугольник $F_1H_1MK$ является трапецией, необходимо показать, что одна пара его противоположных сторон параллельна, а другая — нет.

1. Рассмотрим стороны $F_1H_1$ и $MK$. По построению, мы провели прямую $MK$ в плоскости $(EFGH)$ параллельно прямой $FH$. Прямая $F_1H_1$ в плоскости $(E_1F_1G_1H_1)$ также параллельна прямой $FH$ (так как $F_1H_1HF$ — параллелограмм, его противоположные стороны $F_1H_1$ и $FH$ параллельны). Следовательно, $F_1H_1 \parallel MK$.
2. Так как одна пара противоположных сторон четырехугольника $F_1H_1MK$ параллельна, он является трапецией или параллелограммом. Чтобы доказать, что это именно трапеция, сравним длины параллельных сторон $F_1H_1$ и $MK$.
3. Длина стороны $F_1H_1$ равна длине диагонали $FH$: $|F_1H_1| = |FH|$.
4. Рассмотрим треугольник $\triangle FGH$. В нем $M$ — середина стороны $GH$. Прямая $MK$ проведена через точку $M$ параллельно стороне $FH$ до пересечения со стороной $FG$ в точке $K$. Треугольник $\triangle GKM$ подобен треугольнику $\triangle GFH$ (по двум углам: $\angle G$ — общий, а $\angle GKM = \angle GFH$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $FH$ и секущей $FG$).
5. Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон: $k = \frac{|GM|}{|GH|} = \frac{1}{2}$. Следовательно, отношение длин сторон $MK$ и $FH$ также равно коэффициенту подобия: $\frac{|MK|}{|FH|} = \frac{1}{2}$, откуда $|MK| = \frac{1}{2}|FH|$.
6. Мы получили, что длины параллельных сторон связаны соотношением $|F_1H_1| = 2|MK|$. Поскольку длина диагонали $FH$ не равна нулю, то $|F_1H_1| \neq |MK|$.
7. Так как в четырехугольнике $F_1H_1MK$ стороны $F_1H_1$ и $MK$ параллельны, но не равны по длине, он не является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник $F_1H_1MK$ имеет ровно одну пару параллельных сторон, следовательно, он является трапецией, что и требовалось доказать.